提升數學例題教學實效性的實踐和思考

☉江蘇省溧陽市光華高級中學 偰維國

數學概念的形成、規律的揭示、技能的訓練、學生智能的培養都需要例題教學作為有力支撐.很多學生在傳統教學的課堂上往往能認真聽取教師的講解與分析，但在解決具體問題時卻又表現得懵懂慌亂.現代認知學派的理論認為學生的主動參與往往能使其更好地建構新知結構.教師在例題教學中應積極滲透數學思想方法并引導學生借助原有的認知結構獲得新的發現、理解與創造.以例導思、由例及類是例題教學中慣用的教學手段，教師在實際教學中應做到以下五點并由此實現例題教學的優化.

一、溫故引新并實現知識遷移

數學新知是在舊知基礎上的拓展與延伸，往往會生成更多新的例題，這些例題的教學必須從新舊知識的連接點與新知識的生長點上進行知識與方法的遷移，優化相關舊知并引導學生因此展開新知的探索.

案例1 問題1：已知函數f（x）=x2+ax+3-a，有f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍.

問題2：已知函數f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］時，有f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍.筆者引導學生在問題1的復習基礎上對問題2進行了探究以實現知識的遷移.有學生利用判別式很快得出了問題1的答案，但在解決問題2時仍舊運用了這一思路，教師應及時指出學生的錯誤并引導學生思考錯誤的原因，然后請學生進行自主糾正，學生很快就會發現建立不等式Δ≤0對任意x∈（-∞，+∞）均成立，但在問題2中，題設為任意的x∈［-2，2］，這是必要條件被當成了充分條件進行運用.也有學生畫出了函數f（x）=x2+ax+3-a的草圖并發現了二次函數的對稱軸和區間之間的關系，運用分類討論進行了解題.由此可見，知識遷移的解題教學帶給了學生更多的探究欲望并獲得了學生情感與知識上的共鳴.

布魯納早就提出過探索是數學教學的生命線這一著名的觀點，教師在教學中應積極創設探究氛圍并為學生創造出更多的思維活動的平臺.

二、指導分析并獲得解題思路

學生“聽得懂、不會做”的現象在例題教學之后是普遍存在的，教師沒有引導學生參與分析和思考的過程是產生這一現象的主要原因，教師應扮演好“引導者”、“組織者”的角色并教會學生學會解題思考.

案例2設數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=證明數列｝為等比數列.

以下是筆者的教學過程：

師：題目要求的是什么？

師：證明某數列為等比數列時是怎樣做的？

生：用等比數列的定義.

師：怎樣用符號或式子來表達要證明的結果？

師：可否將其適當變形？

生：可變形為nSn+1=q（n+1）Sn.①

師：已知條件是什么？

師：條件②和目標①之間應該怎樣建立聯系呢？an+1和Sn+1、Sn之間又有怎樣的聯系？

生：an+1=Sn+1-Sn.

師：不錯，解題目標現在能實現了嗎？

學生在上述啟發中很快獲得了以下解題思路：

在例題教學中引導學生合作學習能使其在相互交流中獲得解題思路的優化，以及思維境界的升華和解題能力的提高.

三、回顧深化并實現觸類旁通

解題回顧是解題過程中不可缺少的一個步驟，不僅如此，解題者還應對不同的解題方法、解題結果在其他題中的運用進行新的思考.

案例3運用構造法求遞推數列的通項公式：求形如an+1=pan+qn（p、q均為常數，p≠1，p≠0，q≠0）的通項公式.

復習：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

方法：在數列{an}中，已知遞推關系形如an+1=pan+qn（p、q均為常數且p≠1，p≠0，q≠0），求an.可運用待定系數法將原遞推公式轉化成：an+1-x=p（an-x），其中然后將其轉化成等比數列進行解題.

回顧上述解法之后提出變式：已知在數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.

引導思考：兩邊除以2n+1，可將遞推關系轉化成形如an+1=pan+qn（p、q均為常數p≠1，p≠0，q≠0）的形式嗎？然后再運用構造法對其進行求解？

方法：一般應先在an+1=pan+qn兩邊同除以qn+1，得引入輔助數列{bn}（其中），得，然后運用待定系數法解題.

問題拓展：已知在數列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n+1（n∈N*），求an.可有不同解法？

引導思考：是否可以把遞推關系變形為an+1+2n+2=3（an+2n+1），則數列{an+2n+1}是等比數列，再求解？或者兩邊同除以3n+1，化成最后再用迭加法來解題？

先復習回顧后變式深化的教學將情境變化完全凸顯出來，在有效訓練學生思維遷移的同時也令學生更好地捋清了解題思路，學生的思維遷移能力也因此得到了很好的鍛煉.學生在一題多解、多題一解的訓練與合理變式中學會了知識的靈活運用，在舉一反三的解題思考與實踐中實現了解題的觸類旁通，學生在解題靈感得到有力激發的同時也獲得了思維能力與創新意識的大力提升.

四、相互滲透并形成解題策略

對數學知識、方法、規律進行本質認識與提煉即為數學思想，數學方法這一解題的策略與程序實際上正是數學思想的具體反映，數學思想方法的體現往往需要數學知識這一載體才能實現.因此，教師在設計教學時應注意滲透意識的增強并把握好尺度，使數學知識、方法與思想能做到有機結合與自然滲透.

案例4已知a＞0，函數f（x）=（x2-2ax）ex，設f（x）在［-1，1］上為單調函數，試求a的取值范圍.

解：f′（x）=ex［x2+2（1-a）x-2a］.由f（x）在［-1，1］上為單調函數，可知g（x）=x2+2（1-a）x-2a在［-1，1］上有g（x）≥0恒成立，或g（x）≤0恒成立.

（1）如圖1，g（x）≥0恒成立時（x∈［-1，1］），有以下三種情況：

圖1

圖2

（2）如圖2，g（x）≤0恒成立時（x∈［-1，1］），有綜上所述可得

這是函數、導數、不等式相互滲透融合的例題，數形結合和分類討論在此題的求解過程中相得益彰.借助直觀的圖形進行解題有效地避免了繁瑣的計算，且思想方法得到提升的同時也形成了清晰的解題策略，抽象問題也因此變得更加直觀易解.

五、突出重點并提升自學能力

很多數學例題都是以題組的形式出現，弄清例題之間的關系與例題編排的意圖能使例題教學的重點更為突出，合理取舍可講與可不講、重點講與粗略講并因此提升教學效率.

總之，教師如果能在以上五個方面進行例題教學的優化，必然能更好地發揮學生的主體作用并使學生學會探究性思考，使學生在合作學習與共同交流中不斷優化解題的思路與策略，不斷發展學生解題的應變能力，同時獲得課堂教學實效的提升.