含Ornstein-Uhlenbeck過程的隨機SIS模型疾病的滅絕性分析

李海燕，韋煜明，彭華勤

(廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

(1)

值得注意的是, 大多數學者在研究環境變化對傳染病的影響時, 所考慮的白噪聲擾動都是線性的, 此外, 模型中的參數也可能滿足均值回復過程(i.e.,Ornstein-Uhlenbeck過程).[11-14]假設接觸系數β滿足均值回復過程, 其形式如下:

dβ(t)=θ(βe-β(t))dt+ξdB(t)

(2)

其中,θ和ξ為正常數,θ為回復速率,ξ為波動強度,βe為接觸系數的長期平均水平. 對(3)式積分, 得到

(3)

其中β0：=β(0).易知β(t)的期望為E[β(t)]=βe+(β0-βe)e-θt

(4)

β(t)的方差為

(5)

因此, (3)式可寫成如下形式

(6)

(7)

本文在文獻[12]的基礎上, 考慮總人口變化和因病死亡率, 并且接觸系數滿足均值回復過程, 得到如下模型:

(8)

其中B(t)為標準布朗運動, 因為當染病者人數較少時, 人們重視程度不高, 沒有通過采取措施來控制接觸率, 此時感染力是增加的; 當染病者增加時, 人們開始重視, 從而通過采取一些手段來控制接觸率, 進而降低了感染力, 此時感染力是遞減的. 所以感染力度是一個非單調的函數, 因此, 為了確保有一個非單調的感染力, 我們做出如下假設:

(H1)f(0) >0并且f(I)′ >0,(I>0)

本文主要討論模型(8)全局解的存在唯一性以及疾病滅絕的條件.

1 全局正解的存在唯一性

本文總假設(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一個完備的概率空間, 其中{Ft}t≥0滿足通常條件,

顯然Γ是系統(8)的一個正不變集.

τη=inf{t∈[0,τe):S(t) ≤η,S(t) ≤η}

P{τη≤T}≥ε,

顯然,V(S(t),I(t))是正定的.根據It公式, 我們有:

(9)

其中

:=M

將其帶入(9)式有:

(10)

對(10)式從0→τη∧T積分, 有

所以有

E[V(S(τη∧T),I(τη∧T)) ]≤V(S(0),I(0))+MT

(11)

設Ωη={τη:τη≤T}, 由P{τη≤T}≥ε知P(Ωη) ≥ε, 且對每個ω∈Ωη,由停時的定義知，在S(τη∧T),I(τη∧T) 中, 至少有一個等于η, 所以

根據(11)式有

令η→0, 則有∞>V(S(0),I(0))+MT=∞, 矛盾. 所以τ0=∞,a.s., 即系統(8)存在全局唯一正解.

2 疾病的滅絕

本節主要討論在白噪聲是一個均值回復過程下疾病的滅絕, 定義系統(8)中ξ=0時的基本再生數

定義系統(8) 的隨機基本再生數為:

定理2 如果

(12)

(13)

(14)

對(14)式從0→t積分, 有

(15)

記

則有

顯然

(17)

是一個局部鞅, 根據鞅的強大數定理[15]知

(18)

(19)

根據(16),(17),(18),(19)有

(20)

此時, 根據(16),(17),(18),(20)有

所以疾病滅絕, 從而定理得證.

3 結論