多維轉(zhuǎn)化：建立學(xué)生空間觀念的策略研究

洪婷

摘要：起于一道五年級(jí)求表面的錯(cuò)題，分析錯(cuò)因發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)表面積計(jì)算過(guò)程中存在：一維與多維之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)素材單一;二維與多維之間的轉(zhuǎn)化，表像經(jīng)驗(yàn)缺乏;三維與多維之間的逆向轉(zhuǎn)化，空間觀念薄弱;多維轉(zhuǎn)化出現(xiàn)無(wú)序狀態(tài)等主要問(wèn)題。教師經(jīng)過(guò)多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)需要從一維、二維及三維之間建立相互轉(zhuǎn)化的鏈接，幫助學(xué)生建立空間觀念，提出以下教學(xué)建議：提供一維與多維之間的轉(zhuǎn)化素材，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);豐富二維與多維之間轉(zhuǎn)化的表象，發(fā)展空間觀念;提供三維與多維之間的逆向轉(zhuǎn)化，形成空間觀念等幾個(gè)方面來(lái)促進(jìn)多維的轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生建立空間觀念的實(shí)踐研究。

關(guān)鍵詞：表面積;空間觀念;多維轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G210.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：190216826

一、緣起：起于一道錯(cuò)題

長(zhǎng)、正方體的表面積計(jì)算在學(xué)生的過(guò)程中是錯(cuò)誤率最大的一部分知識(shí)。究其原因是從三維立體圖形中找二維平面的相關(guān)知識(shí)，相關(guān)聯(lián)的知識(shí)更為復(fù)雜。表面積對(duì)于學(xué)生也是一個(gè)新的概念，建立清晰的表面積概念是解決相關(guān)問(wèn)題的前提。教師在教學(xué)中如果能理清一維、二維和三維之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，那么知識(shí)之間的聯(lián)系就會(huì)變得更加清晰。

在人教版五年級(jí)下冊(cè)第26頁(yè)12題求頒獎(jiǎng)臺(tái)的面積這題。學(xué)生在嘗試解決過(guò)程過(guò)出現(xiàn)了許多錯(cuò)誤，例題如下：

【案例敘述】

要求：

1.選擇自己喜歡的方法，獨(dú)立完成，并解答。

2.完成后說(shuō)一說(shuō)自己是怎么想的。

3.和同桌交流，比較一下自己的方法和同桌的方法的差異。

如上三種正確的方法是主要出現(xiàn)在學(xué)生的作業(yè)本上，選擇方法1的占多數(shù)。仔細(xì)思考發(fā)現(xiàn)如上三種方法都有其類同之處。觀察法和找相同面都需要學(xué)生利用空間觀念。仔細(xì)分析每個(gè)面所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬，拉伸法則是利用對(duì)三維立體轉(zhuǎn)化為二維圖形的一種思考方法，即觀察法的后延伸。

二、分析錯(cuò)因

教師對(duì)五年級(jí)100位學(xué)生作為被試，采取調(diào)查方法得知，學(xué)生最常用的方法是方1，即利用觀察物體的方法求立體圖形的表面積。而大部分錯(cuò)誤的學(xué)生都是由于在尋找方法過(guò)程中出現(xiàn)各種問(wèn)題。

研究其主要原因是：學(xué)生存在一維、二維、三維之間相互轉(zhuǎn)化的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，從而空間觀念沒(méi)有得到很好的發(fā)展。

（一）一維與多維之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)素材單一

一維與二維之間的相互轉(zhuǎn)化通常的表現(xiàn)形式是：線與面的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)混淆線與面之間的聯(lián)系。教師往往在教學(xué)中對(duì)于這類相對(duì)比較簡(jiǎn)單的教學(xué)一筆帶過(guò)，特別在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積周長(zhǎng)當(dāng)作面積計(jì)算教學(xué)時(shí)，沒(méi)有給學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)素材，無(wú)法足以區(qū)分這其中的區(qū)別。學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)、正方體的表面積計(jì)算時(shí)，沒(méi)有將長(zhǎng)方體各個(gè)面的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高建立起清晰的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”

，導(dǎo)致學(xué)生只能熟練地說(shuō)出表面積計(jì)算公式，卻無(wú)法根據(jù)立體圖形找到相對(duì)應(yīng)的條件因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，把面積又當(dāng)作周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算。由線轉(zhuǎn)化成面，由線轉(zhuǎn)化成體，由此，學(xué)生在計(jì)算長(zhǎng)方體表面積的時(shí)候就也會(huì)把表面積當(dāng)作周長(zhǎng)來(lái)計(jì)算。

（二）二維與多維之間的轉(zhuǎn)化，表像經(jīng)驗(yàn)缺乏

二維與多維之間的轉(zhuǎn)化通常表現(xiàn)為：二維與一維的轉(zhuǎn)化及二維與三維之間的轉(zhuǎn)化。而對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，主要問(wèn)題就出現(xiàn)在二維與三維之間的轉(zhuǎn)化，即面與體之間的動(dòng)態(tài)變化。平面與立體之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要更多的表象的積累才能提升認(rèn)知。對(duì)于“長(zhǎng)方體和正方體表面積”的學(xué)習(xí)，通過(guò)精講習(xí)題和反復(fù)操練后，學(xué)生能掌握一類題的解題技能，但題目稍改動(dòng)，或呈現(xiàn)稍復(fù)雜一點(diǎn)，學(xué)生就無(wú)從下手。說(shuō)明學(xué)生對(duì)二維平面與三維立體之間的轉(zhuǎn)化還有所欠缺。

（三）三維與多維之間的逆向轉(zhuǎn)化，空間觀念薄弱

對(duì)于五年級(jí)學(xué)生而言，三維與多維之間的轉(zhuǎn)化主要表現(xiàn)為：三維與一維、三維與二維之間的逆向轉(zhuǎn)化。學(xué)生在解決立體的圖形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題。比如火柴盒的表面積計(jì)算，游泳池的內(nèi)壁的計(jì)算以及教室粉刷墻壁計(jì)算表面積的多少。學(xué)生在計(jì)算時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題是哪個(gè)面的面積找不到，哪條邊找錯(cuò)。綜其原因主要是對(duì)三維立體，轉(zhuǎn)化為二維、一維的數(shù)據(jù)匹配無(wú)法建立，也就是空間想象力沒(méi)有得到很好的發(fā)展。

（四）多維轉(zhuǎn)化出現(xiàn)無(wú)序狀態(tài)

多維轉(zhuǎn)化在學(xué)生頭腦中應(yīng)該形成一個(gè)有序的體系。特別是在五年級(jí)表面積教學(xué)時(shí)，教師在教學(xué)中鮮少有幫助學(xué)生建立有序的轉(zhuǎn)化，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的計(jì)算表面積就會(huì)越來(lái)越混亂。

三、概念的界定

【一維】：一維，理解為點(diǎn)動(dòng)成線，指沒(méi)有面積與體積的物體。

【二維】：在一個(gè)平面上的內(nèi)容就是二維。二維即左右、上下兩個(gè)方向，不存在前后。在一張紙上的內(nèi)容就可以看做成是二維。即只有面積，沒(méi)有體積。二維是平面技術(shù)的一種，例如普通的平面動(dòng)漫，稱之為二維動(dòng)漫、簡(jiǎn)稱二維。

（富有立體感的是三維）。另外，腦海里的想象也可看做二維。

【三維】：通常我們說(shuō)的三維是指在平面二維系中又加入了一個(gè)方向向量構(gòu)成的空間系。三維既是坐標(biāo)軸的三個(gè)軸，即x軸、y軸、z軸，其中x表示左右空間，y表示上下空間，z表示前后空間，這樣就形成了人的視覺(jué)立體感。三維是由和一維二維組成的，二維即只存在兩個(gè)方向的交錯(cuò)，將一個(gè)二維和一個(gè)一維疊合在一起就得到了三維。三維具有立體性，但我們俗語(yǔ)常說(shuō)的前后，左右，上下都只是相對(duì)于觀察的視點(diǎn)來(lái)說(shuō)。沒(méi)有絕對(duì)的前后，左右，上下。

【多維轉(zhuǎn)化】本文中的多維轉(zhuǎn)化指的是：一維、二維與三維之間的相互轉(zhuǎn)化。

四、多維轉(zhuǎn)化建立空間觀念的策略

長(zhǎng)、正方體屬于三維立體圖形，求這類立體圖形的表面積即涉及到二維平面，但是在計(jì)算二維平面的同時(shí)，需要找到相對(duì)應(yīng)的邊，也就是一維線段。因此，長(zhǎng)正方體的表面積是五年級(jí)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，它涵蓋了多維度轉(zhuǎn)化的思想。在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生需要找到相關(guān)的量，才能進(jìn)行計(jì)算。教師經(jīng)過(guò)多年的研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)以下策略的實(shí)踐可以突破表面積計(jì)算的困境。

（一）提供一維與多維之間的轉(zhuǎn)化素材，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

一維與多維之間的轉(zhuǎn)化主要表現(xiàn)為：線到面的轉(zhuǎn)化;線到體的轉(zhuǎn)化。教師需要給學(xué)生提供更為豐富的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生積累更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使生活經(jīng)驗(yàn)可以得到進(jìn)一步提高。

1.一維轉(zhuǎn)化為二維，由線及面

由線轉(zhuǎn)化為面，是相對(duì)比較簡(jiǎn)單的一個(gè)過(guò)程，這部分可以放手交給學(xué)生獨(dú)立完成。發(fā)揮想象通過(guò)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)、折一折、描一描、演一演，同伴之間的交流能夠給學(xué)生提供更為豐富的學(xué)習(xí)素材。

【案例1】師：請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手把線到面的轉(zhuǎn)化通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、折一折等表示出來(lái)

對(duì)于一維平面圖形和二維立體圖形之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要更多的實(shí)物素材的積累通過(guò)剪一剪、折一折、比一比、移一移的方法檢驗(yàn)自己的想象。通過(guò)多次實(shí)踐操作，在感悟了一定的方法以后，很多學(xué)生解決這一類題目的正確率可以達(dá)到100%，空間觀念也能得到發(fā)展。

2.一維轉(zhuǎn)化為三維，由線及體

一維到三維立體的跳躍轉(zhuǎn)化，出現(xiàn)最多的就是表面積的計(jì)算這一單元中。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)問(wèn)題。教師在教學(xué)過(guò)程中需要特別關(guān)注學(xué)生對(duì)于一維線段拼搭成三維立體圖形的方法的引導(dǎo)。

【案例2】請(qǐng)同學(xué)們拼一拼（教師提供學(xué)具）

把下列12條5厘米，4條6厘米，4條3厘米的線段，可以組成哪些立體圖形？

圖（1）是由4條5厘米，4條6厘米，4條3厘米的線段組成的長(zhǎng)方體。

圖（2）是由12條5厘米組成的正方體。

圖（3）是由8條5厘米4條6厘米組成的特殊長(zhǎng)方體。

通過(guò)搭一搭、拼一拼的方法給學(xué)生提供了更多的動(dòng)手實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。教師給學(xué)生提供更為豐富的學(xué)習(xí)素材，學(xué)生通過(guò)選擇，判斷，操作，建立了更加完整的立體圖形的概念。這樣的學(xué)習(xí)就是有意義的。

（二）豐富二維與多維之間轉(zhuǎn)化的表象，發(fā)展空間觀念

二維平面轉(zhuǎn)化為一維線段及三維立體，一則是逆向轉(zhuǎn)化，另一面是空間的延伸。教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)更多的圖形表象，對(duì)于發(fā)展學(xué)生空間觀念有這舉足輕重的作用。

1.二維轉(zhuǎn)化為一維

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，除了要豐富生活經(jīng)驗(yàn)之外，更需要積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。充實(shí)知識(shí)的積累只靠單方面的轉(zhuǎn)化還不能達(dá)到很好的溝通。因此在立體圖形中找長(zhǎng)寬高，顯得必不可少。

【案例3】根據(jù)在長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖中找到長(zhǎng)、寬、高，并長(zhǎng)方體平面展開(kāi)圖上標(biāo)示出來(lái)

上題是比較好的從立體圖形中找長(zhǎng)寬高的練習(xí)。從生活中找素材，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。長(zhǎng)此以往，對(duì)于求表面積數(shù)據(jù)的提取就不再出錯(cuò)。立體圖形轉(zhuǎn)化求平面表面積的大小，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)本就是一個(gè)難點(diǎn)。再加上計(jì)算的繁瑣，學(xué)生對(duì)求表面積會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，造成計(jì)算表面積錯(cuò)誤率相當(dāng)?shù)母摺Ｒ虼私處煙o(wú)論在課堂中還是課堂外，都要鼓勵(lì)學(xué)生利用所學(xué)的知識(shí)，區(qū)分不同的表象內(nèi)容。

2.二維轉(zhuǎn)化為二維

二維如何轉(zhuǎn)化為二維呢？其實(shí)不是轉(zhuǎn)化，更確切的說(shuō)的變化，把普通的平

面圖形與展開(kāi)圖做對(duì)比就會(huì)發(fā)現(xiàn)，表面積的展開(kāi)圖有其特殊的地方。

【案例4】一張長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形紙，做成一張高為2厘米的長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖，怎樣做材料最節(jié)約？（上圖5）

通過(guò)剪一剪在長(zhǎng)方形的四個(gè)角減去邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，從而做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖，重現(xiàn)了表面積側(cè)面展開(kāi)圖的相關(guān)知識(shí)，又使空間觀念得到了很好的發(fā)展。

3.二維轉(zhuǎn)化為三維

對(duì)于二維圖形和三維立體圖形之間的轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要進(jìn)行空間想象，然后通過(guò)實(shí)踐操作，在操作中驗(yàn)證自己的想象。通過(guò)多次實(shí)踐，在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)得到了一定的積累后，學(xué)生的空間觀念能得到發(fā)展。

【案例5】（1）下面哪些圖形沿虛線折疊后能圍成長(zhǎng)方體？先想一想，再把它剪下來(lái)試看折一折

（2）下面這些表面展開(kāi)圖，標(biāo)出L-F、前后、左右六個(gè)方向，再觀察哪個(gè)圖可以圍城長(zhǎng)方體。同桌說(shuō)一說(shuō)，為什么。

在“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體”的課時(shí)中.學(xué)生通過(guò)觀察長(zhǎng)方體，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體有6個(gè)面，相對(duì)的面完全一樣等特征。在學(xué)習(xí)展開(kāi)圖時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察展開(kāi)圖，進(jìn)一步加深了對(duì)這一特征的認(rèn)知。我記得在做下面這個(gè)題目的時(shí)候，受正方體展開(kāi)圖的思維定式影響，很多學(xué)生都只考慮這6個(gè)面能否圍在一起，忽略考慮長(zhǎng)方體相對(duì)的面的面積相等。通過(guò)標(biāo)出六個(gè)方位的面，可以幫助學(xué)生更好的建立表面積的概念。

（三）提供三維與多維之間的逆向轉(zhuǎn)化，形成空間觀念

三維立體轉(zhuǎn)化為一維線段和二維平面，看似由難到易的過(guò)程，實(shí)則不然。這是思維的逆向發(fā)展，不僅能更好的建立各部分知識(shí)之間的聯(lián)系，更重要的是提供了更為寬闊的逆向思維發(fā)展的空間，對(duì)空間觀念的建立起著重要的作用。

l.三維轉(zhuǎn)化為一維

由三維立體轉(zhuǎn)化為一維線段，學(xué)生只有在轉(zhuǎn)化過(guò)程中對(duì)體與線之間建立充分的鏈接，才能找到相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，從而發(fā)展空間觀念。

【案例6】把一個(gè)長(zhǎng)為40厘米、寬為20厘米，高為15厘米的包裝盒外面包絲帶，如圖，求包裝盒的絲帶長(zhǎng)度（接口處不計(jì)長(zhǎng)度）

（下圖6）

如上圖所示，長(zhǎng)方體外面包裝繩的長(zhǎng)度其實(shí)就是兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。但是學(xué)生在這個(gè)識(shí)別階段，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)誤判，或者是迷惘。他們無(wú)法很好的找到相匹配的量，因此在三維和一維逆向的、跳躍的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，能更好的發(fā)展學(xué)生的想象力。

2.三維轉(zhuǎn)化為二維

觀察組合圖形面積的計(jì)算，同樣觀察法屢試不爽。若能在觀察法的基礎(chǔ)上促進(jìn)三維立體轉(zhuǎn)化為二維平面的計(jì)算，那么對(duì)于學(xué)生的空間觀念的建立又是一個(gè)質(zhì)的飛躍。

【案例7】把一個(gè)長(zhǎng)30米，寬20米，高3米的游泳池，延深2米處在墻壁的四周涂油漆，需要涂多少平方米的油漆？

【案例8】：要求：把這個(gè)長(zhǎng)方體游泳池的側(cè)面拉伸，變成一個(gè)長(zhǎng)方形。利用六個(gè)方向看到的面積推導(dǎo)，側(cè)面積的計(jì)算簡(jiǎn)便方法。

把游泳池的四周轉(zhuǎn)化為平面圖形即為一個(gè)長(zhǎng)方形，求長(zhǎng)方形的面積即是長(zhǎng)方體的表面積。把三維視圖轉(zhuǎn)化為二維的平面視圖，組合成為一個(gè)整體。再利用長(zhǎng)乘寬就可以計(jì)算出表面積的大小。因此如果學(xué)生學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化的思想，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，那么空間觀念的建立也會(huì)水到渠成。

3.三維轉(zhuǎn)化三維

三維立體圖形的轉(zhuǎn)化可以切一切、拼一拼、移一移……等各種不同的情況，幫助學(xué)生在小學(xué)階段建立良好的三維立體的空間觀念，學(xué)生在將來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中將會(huì)更為輕松，更加自信。

【案例9】一個(gè)正方體，切一刀，它的表面積變化了嗎？增加了多少？（表3在正方體上切一刀的變化情況）

不需通過(guò)計(jì)算，只要?jiǎng)邮謱?shí)踐，利用轉(zhuǎn)化的思想每切一刀表面積都會(huì)有不同的變化，但是它們的共同點(diǎn)就是表面積都增加了兩個(gè)面。教師在教學(xué)中要選擇有意義的教學(xué)方法，像此類的實(shí)踐操作，不僅能拓展學(xué)生的想象的空間，更重要的是幫助學(xué)生理清一維、二維、三維之間的變化關(guān)系，更有效的幫助學(xué)生建立空間觀念，突破表面積計(jì)算的學(xué)習(xí)困境。