廣義逆威布爾分布參數的ML估計

王樅

摘要：逆威布爾分布是可靠性理論中常見的一種失效分布，可廣泛應用于化學化工，電子電氣，機械材料領域.對于逆威布爾分布的尺度參數和形狀參數的極大似然估計是研究威布爾分布模型問題的重要方法.由于考慮到普通迭代估計過程的不穩定性，本文利用修正牛頓迭代法給出了完全樣本情況下廣義逆威布爾分布多個參數的極大似然估計，然后通過隨機模擬來驗證估計的合理性.

關鍵詞：廣義逆威布爾分布;極大似然估計;牛頓迭代法

中圖分類號：O212.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）02-0005-03

早在20世紀30年代，費舍（R.A.Fisher，1860- 1960）在漸進分布的研究中，發現了極值分布中的逆威布爾分布.這一重要的函數分布在軍工、醫學、物理等領域應用廣泛.越來越多的學者對它的研究產生了極大的興趣.Keller and Kamath（1982）[1]在基本的逆威布爾分布的模型下考慮了其密度函數和失效率函數的形狀.Drapella（1993）[2]Mudholkar and Kollial（1994）[3]和Jiang et.al.（1999）[4]正式地給出了逆威布爾分布的累積分布函數.

如果隨機變量T的累積分布函數具有如下的形式：

變量T就服從逆威布爾分布.而逆威布爾分布是廣義逆威布爾分布的一個特例.Gusm？觔o and Ortega （2011）[5]首次提出了廣義逆威布爾分布的概念，并且在文中介紹了廣義逆威布爾分布很多優良的性質和特點.根據上述文獻的研究內容，我們不妨假設變量T服從廣義逆威布爾分布，它的累積分布函數F（t）可以視為函數G（t）以非負參數？酌為指數的冪，則廣義逆威布爾分布的概率密度函數與分布函數分別為

本文主要研究廣義逆威布爾分布三參數的極大似然估計以及參數估計有效性的隨機模擬.

1 廣義逆威布爾分布的參數極大似然估計

1.1 極大似然估計

1.2 修正極大似然估計

2 隨機模擬

在本節中，我們利用matlab對廣義逆威布爾分布的參數估計進行隨機模擬，參數真值的選取會對估計結果產生影響.我們選取兩組不同的參數真值（2.0879，2.1535，2.9411）和（3.1632，1.5935，3.2733），并且在兩組中分別產生10，20，40，60，100，140，200樣本量的隨機變量x的樣本，然后利用matlab對3個參數？琢，？茁，？酌進行修正極大似然估計的模擬，重復迭代2000次，取平均值作為參數的估計值，得到模擬結果見表1和表2.其中令誤差范數

我們可以看出無論是第1組還是第2組，隨著樣本量的不斷增大，參數的估計值會越接近真實值，當樣本量為200時，迭代估計的模擬效果達到最佳.由于第1組的參數估計值與真值的誤差明顯大于第2組.所以選取合適的真值也有利于控制模擬的誤差.

3 總結

廣義逆威布爾分布的參數估計在可靠性理論中有非常重要的作用.本文介紹了參數的修正極大似然估計，并且驗證了隨機模擬下迭代估計的可行性.本文還有其他的問題沒有考慮，例如：如何利用林德利近似方法給出參數的貝葉斯估計.這是我們后續應該進一步探討的問題.

參考文獻：

〔1〕Keller AZ， Kamath AR. Reliability analysis of CNC machine tools. Reliab Eng ，1982，3：449–473.

〔2〕Drapella A， Complementary Weibull distribution： unknown or just forgotten. Qual Reliab Eng Int， 1993， 9：383–385.

〔3〕Mudholkar GS， Kollia GD Generalized Weibull family： a structural analysis. Commun Stat Ser A，1994， 23：1149–1171.

〔4〕Jiang R， Zuo MJ， Li HX Weibull and Weibull inverse mixture models allowing negative weights. Reliab Eng Syst Saf ，1999，66：227–234.

〔5〕Gusm？觔o， F. R. S. ， Ortega， E. M. M. & Cordeiro， G. M. The Generalized Inverse Weibull Distribution. Stat. Pap， 2011，52（3）： 591–619.

〔6〕韋博成.參數統計教程[M].北京：高等教育出版社，2006.