分類討論思想在高中數學解題中的應用

馮玉蘭

[摘 ?要：分類討論思想，是根據數學的根本屬性的相同點以及不同點，將數學漸漸地分為不同的種類的一種有效的數學思想。對于學生來說，就是使用分類討論思想將不能夠統一方法解答的問題，劃為不同的模塊，學生在通過分塊來實現問題的求解，體現出學生對數學問題的解題能力以及學生對數學問題的分析能力。這種數學思想，也是高中數學中一項重要的考查項目。本文在此基礎上主要分析了分類討論思想在高中數學解題中應用的相關內容。

關鍵詞：分類討論思想;高中數學;解題;應用]

1引言

分類討論思想存在于生活中的各個學科、領域中，是自然學科以及所有社會學科的基本邏輯方法，不單用于數學教學中。高中數學教學中，分類的思想體現在多種方面，例如，代數與幾何的分類、方程和函數的分類等，通過合理分類這些問題，有效降低了學生的解題難度。縱觀歷年的數學高考試題，分類討論解題方法常常出現在高考解題當中。伴隨素質教育的推進、新課程改革的實施，數學教學應該做到在“授人以魚”的同時“授人以漁”。讓學生在解題中學會分類討論思想，這不僅有助于解題能力的提升，也有助于數學思維能力的發展。

2分類討論思想的解題策略

分類討論思想是指當某類數學問題不能以統一空間形式作答時，首先，需要選定適當的標準;然后，根據上述標準將問題劃分為若干子空間;最后針對問題空間進行逐一討論，進而使問題獲得解決。分類討論思想解題的關鍵是找清分類的動機與策略，即弄清“為何”、“如何”。根據分類討論思想的定義與關鍵要素，本文確定分類討論思想的四個操作步驟。

3分類討論思想在高中數學解題中的應用

3.1數列中的分類討論思想

證明某些邏輯命題時，由于此類證明命題的特殊性，在論證過程中需要根據不同情景或原理，將這些復雜的、抽象的命題解剖為若干個具體的子命題。分解子命題時需要建構相關的論證要素，只要把相關的論證要素全部逐一的建構，就足以徹底地去證明原命題。例1：若{an}是由非負整數組成的無窮數列，把此類數列前n項的最大值記為An，同時把第n項之后各項an+1，an+2，……，的最小值記為Bn。命dn=An-Bn其中n=1，2，3，……，求證：當a1=2，dn=1時，則{an}的項是1或2，而且有無窮多項為1。剖析：

（1）當數列{an}的某項ai=0時，則有d1=a1-ai=2-0=2，這與dn=1矛盾，所以數列{an}中所有的項都不為0。

（2）當數列{an}的項大于2時，記其中第一個大于2的項為ai，因為數列{an}中一定存在項1，否則這與d1=1矛盾。當n>i時，則有an≥2，否則這與di=2相矛盾。故數列中存在最大的項m在2與i-1之間，使得am=1。此時dm=Am-Bm=2-Bm≤2-2=0，這與題設dn=1相矛盾。所以數列{an}中的項不能超過2，只能是1或2。

（3）當數列{an}中只有有限項為1時，記al為最后一個1，那么al的后邊各項的最小值為2，此時dl=Al-Bl=2-2=0與題設dn=1相矛盾。所以數列中有無窮多項為1。綜上三種情況可知，命題獲證。

3.2概率中的分類討論思想

在高中數學概率解題當中應用分類討論思想，可以對問題要求進行分類，更好地得到最終的答案。對于高中數學的學習當中，概率所占的學習地位非常重要，也是高考時的重要考點之一。對于解答概率相關的問題的時候，學生可以對題目當中已知的條件進行編排，然后學生在利用分類討論思想研究對象當中的變量的可能數值進行假設，要最終確定合理的選擇。最終，通過分類討論之后，得到最終的結果，這樣就能夠解決高中數學當中遇到的概率問題，還能夠更好地節約時間以及提高學生解決問題的效率。

3.3不等式中的分類討論思想

例2：設k∈N，求滿足不等式|m|+|n|

4分類討論思想在高中數學解題中的應用策略

分類討論思想是現在教學方式中比較先進的一種，合理的運用可以取得良好的教學效果，事半功倍，但選擇這類教學方式需要摒棄其中的一些思想誤區，并加以完善。第一，將學生進行不同層次與能力的分類分類討論思想應該側重于學生之間的個體差異，不應側重于對問題進行分類。在進行教學之前，根據學生的理解能力、知識掌握程度、獨立思考能力等進行合理分類，仔細考查每一名學生的情況，在此基礎上進行問題的總結分類，確保讓學生充分掌握的前提下進行學習。但在進行分類時，確保這種分類形式不帶歧視性眼光，以及足夠的公平公正，同時到學生的理解。第二，將相關性與難度系數進行結合來分類問題。同一類型的相關性問題也是有難易之分的，因此，在進行歸納分類時，不能忽略這個問題。數學教師應該首先考慮對學生等級分類，然后再進行知識點的分類，最后把已經分類的問題按照難度系數進行更加細化的分類，針對不同學生進行不同的使用類別。

5結束語

在解決數學問題時，需要將蘊涵在數學知識背后的數學思想方法“挖掘”出來，既要掌握數學知識，又要領悟數學思想方法。學生的分類綜合思維能力的培養需要一個長期的過程，需要在實踐和訓練中得到發展，可以通過經常性的思維訓練去提高學生的綜合能力。

參考文獻

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