例說新課程理念下高中數學變式作業設計問題

宮興榮

[摘 ?要：所謂變式作業，是指對課堂教學中的內容和例題進行有目的、有計劃的一種延伸，是提高高中數學成績最有效的作業方式之一。變式作業作為一種傳統的數學作業設計方式，已為廣大數學教師所熟悉，傳統的變式作業一般以“一題多變”或者“一題多解”的形式出現，因其能夠很好地訓練學生思維的靈活性和發散性，歷來為廣大一線教師所青睞。

關鍵詞：新課程;數學作業;變式設計]

變式作業就是以學生課堂上所學的知識和例題為基礎，緊密圍繞課堂教學目標開展的活動，通過改變例題中的條件或者結論而重新編制的新題目作為學生的課后作業。變式作業主要是為了強化對知識的理解，提高對概念的理解、推理論證、抽象概括、空間想象、運算能力、數據處理等能力。下面以筆者教學過程中的兩個案例為例說明變式作業的好處。

案例一：筆者在執教人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線和方程》過程中在講完橢圓的方程一節后，針對課書例3和練習題第3題的變式作業。

附：例3：點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交與點M，且它們的斜率之積是-[49]，試求點M的軌跡方程。

例3：在教學的過程中主要目的是要求學生掌握直接法求軌跡方程的步驟，從而培養學生的邏輯思維能力和計算能力，筆者從課堂教學來看，此例題的設計激發了學生的學習興趣，通過最后求出的軌跡方程學生對橢圓的定義和標準方程有了更深層次的理解。筆者對例3的變式作業設計如下：

作業1.1：點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交與點M，且它們的斜率之積是[49]，試求點M的軌跡方程。

設計目的：作業1.1與例3的區別在于條件中[49]與-[49]的區別，它們應該屬于同一種類型的題，是對直接法求軌跡方程的直接應用，從學生的作業反饋看效果很好。

作業1.2：點A，B的坐標分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交與點M，且它們的斜率之積是[b2a2]，求點M的軌跡方程。

設計目的：首先是數字向字母的一個轉化，考查學生的字母運算能力，其次是對橢圓軌跡方程的進一步的理解和掌握。

作業1.3：點A，B的坐標分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交與點M，且它們的斜率之積是k（k[≠]0），則點M的軌跡方程是[x2a2-y2ka2=1x≠±a]。

可以看到變式二高度概括了變式一的兩種情形，甚至包括當[k=-1]時軌跡為圓方程的情形。而且當[k<0]時，A，B是否為橢圓的長軸或短軸視k而定。接下去我們考慮點A，B在y軸上的情形。

結論：在軌跡是橢圓方程中，點A，B可能是橢圓的長軸也可能是短軸，但在雙曲線方程中，點A，B就是雙曲線實軸的頂點。

思考：如果把以上變式看做是原命題的話。那么它的逆命題是否成立呢？即已知雙曲線方程和雙曲線上異于頂點的點，它們的斜率乘積滿足什么條件呢？

俗話說溫故而知新，學過的知識需要不斷地加以應用和鞏固提升。

案例二：筆者在執教人教A版必修5第二章《數列》過程中在講完等差數列的性質一節后，針對等差數列的性質的變式作業。

附：課堂上給學生講等差數列的條性質：

等差數列an中，公差為d，其前n項和為Sn，①[d=an-amn-m];②若[m+n=p+q]，則[am+an=ap+aq];③數列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n……也成等差數列。

筆者在教學過程中對這三個性質引導學生做了推導，并進行了相應題目的訓練，課堂上學生對這三個性質的應用不是非常的熟練，所以在留作業時由易到復雜的順序。

作業1：

（1）設數列{an}是等差數列，若a3+a4+a5=12，則a1+a2+……+a7等于 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9等于 ? ? ? ? ? ? ? 。

作業2：

（1）已知等差數列{an}的公差為2，項數是偶數，所有奇數項之和為15，所有偶數項之和為25，則這個數列的項數為 ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）等差數列{an}的前m項和為30，前3m項和為90，則它的前2m項和為 ? ? ? ? ? ? ? 。

案例三：筆者在執教人教A版必修5第三章《不等式》過程中在講完基本不等式一節后，針對利用基本不等式求函數的最值和值域的變式作業。

這次的作業主要是為了強化解法而設計的作業，因為在數學教學的過程中經常說通法通解，這些最基本的方法必須掌握，對重點內容必須強化解決。因此本節課后作業就是通法的再次運用。

附：課堂例題 ?已知函數[fx=x+4x]，[x∈][1，2]，求函數f（x）的最值。

課堂上師生探討了兩種解法，一種是基本不等式的應用，一種是利用函數的單調性求最值。

作業1：已知函數[fx=x+4x]，[x∈][1，4]，求函數f（x）的最值。

作業2：已知函數[fx=x+ax][a>0]，[x∈][1，2]，求函數f（x）的最值。

這些作業由簡單到復雜，引入了參數的討論，滲透分類討論的數學思想，題量不多但思維量特別大，提高了作業的鞏固效果。

總之，變式設計作業時一定要與課堂教學內容、題目緊密相聯系，對學生的知識和能力要有充分的估計，一定要題量適中，符合學生的學情，便于學生開展思維能力的訓練，達到應有的效果。

（本文系2018年白銀市教育科學“十三五”規劃課題《新課程理念下高中數學作業優化策略的實踐研究》階段性研究成果，課題批準號：BY【2018】G364）