高中數列通項公式的求法探究與歸納

[摘 ?要：數列的通項公式直接表述了數列的本質，我們可以通過數列通項公式求出數列中任意一項，也可以通過數列通項公式判斷一個數是否為數列的項以及是第幾項等問題。各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解，特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解往往是解決數列難題的瓶頸，本文將結合常見高考題型，對數列求通項公式的方法進行探究與歸納總結，希望能對廣大一線教師和考生有所幫助。

關鍵詞：數列;通項公式;探究歸納]

數列通項公式的求解問題是高中數列問題中一類常見并且重要的題型，也是高考一大考點，解法層出不窮但也有章可循。面對常規數列通項公式的求解時，學生都會按照等差等比基本公式求出數列的通項公式。而當數列形式稍加變形，不是按照正常形式給出時，學生往往容易變得束手無策，一旦幾次嘗試之后如果還是沒有得出答案，就會導致對求通項公式的畏難和消極情緒。究其根本，是學生沒有仔細去思考，沒有對于常見題型進行積累、總結和反思，蘇霍姆林斯基說過：“懂得還不等于己知，理解還不等于知識，為了取得更牢固的知識，還必須思考并總結。”因此，筆者結合多年高中一線教學的實踐經驗，對數列中求通項公式的方法進行探究，并完成歸納與總結，希望能對廣大一線教師和考生有所幫助。

一、觀察法

數列從定義角度看，是按一定順序排列的一列數，因而它不是雜亂無章的，它是有規律可循的。所以，我們可以根據數列的前幾項，觀察每一項與項數的關系，從而寫出數列的通項公式。

例1：寫出下列數列的一個通項公式：

（1）9，99，999，9999，……

（2）1，11，111，1111，……

觀察法關鍵是把握第n項與[an]的關系，把每一項用項數表示，體現了特殊到一般的思想，也是數學上重要的思想方法，但欠嚴謹，如有必要，還需用數學歸納法去證明。

二、公式法

這種方法也叫做直接定義法，適用于已經知道數列類型的題目，通過求出首項和公差或公比，直接利用等差或等比數列的定義寫出通項公式。

例2：【2018全國Ⅱ，理17】Sn為等差數列{an}前n項和，已知a1= -7，S3=-15，求{an}的通項公式。

解：設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=-15，又由a1=-7得d=2，所以{an}的通項公式為an=2n-9。

三、利用an與Sn的關系求通項

有些數列給出{an}的前n項和Sn與[an]的關系式，利用讀書文摘2期從而求出[an]，特別要注意檢驗n=1的情形。也有些數列通過做差，導出an+1與[an]的遞推式，從而求出[an]。

例3-1：【2015山東，理18】設數列{an}的前n項和為Sn，已知讀書文摘2期，求{an}的通項公式。

解：因為讀書文摘2期，所以2a1=3+3，故a1=3，

當讀書文摘2期時，讀書文摘2期此時，讀書文摘2期即讀書文摘2期，所以讀書文摘2期。

例3-2：【2018全國Ⅰ，理14】記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1，則a6=（ ? ?）。

解：讀書文摘2期

讀書文摘2期

①-②得讀書文摘2期，即讀書文摘2期，讀書文摘2期

因此{an}是以-1為首項，2為公比的等比數列，則讀書文摘2期。

四、累加法

適用于遞推公式形如讀書文摘2期＼（n=2、3、4……）型的數列，且讀書文摘2期可求，則用累加法求[an]。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

例4：在數列{[an]}中，a1=1，讀書文摘2期（n=2、3、4……），求{[an]}的通項公式。

解：∵n=1時，a1=1

讀書文摘2期這n-1個等式累加得：

讀書文摘2期讀書文摘2期

故讀書文摘2期且a1=1也滿足該式∴讀書文摘2期讀書文摘2期。

五、累乘法

適用于遞推公式形如讀書文摘2期（n=2、3、4……）型的數列，且[f1×f2×…×f（n-1）]可求，則用累乘法求[an]。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

例5：已知數列{[an]}滿足讀書文摘2期讀書文摘2期，求[an]。

解：由條件知讀書文摘2期，分別令讀書文摘2期，代入上式得（n-1）個等式累乘之，即得：讀書文摘2期讀書文摘2期讀書文摘2期又讀書文摘2期，讀書文摘2期。

六、構造法

原數列不是等差或等比數列，但對已知的等式進行適當變形，可構造出新數列為等差或等比數列，從而求出通項公式。

形式1、讀書文摘2期（x，y），用配湊法，配湊常數“λ”，使得讀書文摘2期構造出一個等比數列，從而求出an的通項公式。

例6-1：【2014課標Ⅱ，理17】已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通項公式。

解：由an+1=3an+1得an+1+[12]=3[an+12]，又a1+[12=32]，所以[an+12]是首項為[32]，公比為3的等比數列，an+[12=3n2]，因此{an}的通項公式為an=[3n-12]。

形式2、讀書文摘2期（x，y，z），

（1）若[x=z]，則可以化為讀書文摘2期進而轉化為一個等差數列，利用等差數列的通項公式求解。

例6-2：已知數列{an}滿足讀書文摘2期，a1=2，求數列{an}的通項公式。

解：讀書文摘2期兩邊除以2n+1，得讀書文摘2期，則讀書文摘2期故數列讀書文摘2期

是以讀書文摘2期為首項，以[32]為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得讀書文摘2期的通項公式為讀書文摘2期。

（2）若[x≠z]，則可化為讀書文摘2期，進而轉化為形如讀書文摘2期的數列。

例6-3：已知數列{an}中，讀書文摘2期讀書文摘2期，求an。

解：在讀書文摘2期兩邊乘以2n+1得：讀書文摘2期令讀書文摘2期，則讀書文摘2期，應用形式1解法得：讀書文摘2期，所以讀書文摘2期

本題也可化為讀書文摘2期，進而轉化為形如讀書文摘2期的數列，利用累加法進行求解。

七、周期型數列：

寫出數列的前幾項，總結規律，發現其周期性，進而直接得出數列的通項公式。

例7：已知數列{an}中a1=0，讀書文摘2期求：a2011（解答略）。

八、倒數變換法：

對于如讀書文摘2期這樣的數列，可用倒數變換，將原數列轉化為等差或等比數列，再利用公式法求解。

例8：數列{an}中，讀書文摘2期讀書文摘2期，求an。

解：取倒數得：讀書文摘2期令讀書文摘2期則讀書文摘2期讀書文摘2期讀書文摘2期

九、迭代法

例9：已知數列{an}滿足讀書文摘2期求數列{an}的通項公式。

解：因為讀書文摘2期所以

讀書文摘2期讀書文摘2期

讀書文摘2期

又a1=5，所以數列{an}的通項公式為讀書文摘2期

十、數學歸納法

這種方法是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而通過觀察法，猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以嚴格證明。

例10：已知數列{an}滿足求數列{an}的通項公式。

解：由讀書文摘2期讀書文摘2期，得

由此可猜測往下用數學歸納法證明這個結論。

（1）當n=1時，讀書文摘2期所以等式成立。

（2）假設當n=k時等式成立，即讀書文摘2期

則當n=k+1時，

由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據（1）（2）可知，等式對任何讀書文摘2期都成立。

總之，求數列通項公式的方法并不限于以上所述，對于同一問題的求解也不僅是一種方法，只有在平時的數學學習與探究過程中不斷地體會與總結，將知識與方法學活，才可以做到游刃有余。

參考文獻

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[3]劉養飛.淺談常見數列通項公式的求法[J].湖南中學物理·教育前沿，2008（z1）.

作者簡介

張瑞（1982.07.20—），碩士研究生，新疆烏魯木齊市第七十中學。