數學模型在賽車游戲方案設計中應用研究

佟泓霖

[摘 ?要：賽車游戲在大眾游戲中很受歡迎，用戶在游戲過程中既能愉悅身心又能從解決問題中提高自己的信心。為讓玩家感覺既有難度又要有解決的信心。游戲設計者需要規劃玩家的操作軌跡以及行為目標，同時加入部分隨機因素，增加游戲復雜度和多變性，使玩家不至于疲倦和厭煩。所以在游戲方案確定下來后，實驗和參數優化則成為方案實現重點。本文針對賽車游戲中的具體問題，建立相應的數學模型進行求解分析，以期能夠設計新的游戲方案，使得用戶有更好的游戲體驗。

關鍵詞：賽車游戲;方案設計;數學模型]

1引言

隨著經濟技術的發展進步以及計算機與互聯網的普及，打游戲的消遣方式越來越受到青少年甚至是中老年人喜愛。網絡聯機以及單機小游戲層出不窮，賽車游戲就是其中的一個在大眾中非常受歡迎的小游戲。用戶在玩賽車游戲的過程中既能達到消遣的目的又能在解決問題的過程中得到相應的學習樂趣與信息。游戲設計通常是設計者根據專家給出環境的參數與規則，采用編程工具來進行實現。如何讓用戶在玩游戲的過程中得到極致的體驗，是游戲設計者需要關注的重點問題。

2問題描述

在道具僅僅包含賽車的最為簡單賽車游戲中，游戲開始后，賽車以豎直向上的初速度10p/s在平坦的地面運行，玩家可使用鍵盤的上下左右鍵來操作賽車，按一次向上或向下鍵，賽車向上的速度會提高或降低20%，按一次向左或向右鍵，賽車便會瞬間得到一個向左或者向右的加速度10p/s2，加速度將一直保持，直到用戶按左右鍵，同時一次按鍵導致的加速最多維持2秒。游戲規則假設賽車始終位于屏幕低端正中間，賽車是邊長為10p的正方體。屏幕的分辨率為1000×800，1p相當于地面的0.3米。如果游戲開始后，每間隔1秒依次按左、上、右、下鍵，共按8次，則計算最后一次按鍵后，賽車向上速度和向左速度，并繪制賽車在地面上的運行軌跡;如果按鍵4000次，則計算最后一次按鍵后，賽車向上速度和向左速度，并繪制賽車在地面上的運行軌跡。

3模型的構建與分析

3.1變量符號與假設

在構建模型前，我們假設游戲中上下左右4個按鍵無操作延時，瞬時響應，同時速度和加速度按鍵之后瞬時變化。

3.2四次按鍵模型構建與求解

假設賽車在t=0s時的初始位置坐標為（0，0），列出0～8秒各時間點和時間段賽車的位置坐標，游戲玩家在具體時間點的操作，操作前后賽車的速度狀態和時間段的階段函數，并以各時間段計算出的階段性函數畫出賽車運行的具體軌跡。因為用戶以左、上、右、下的次序按鍵，共按了8個鍵，重復了兩輪，兩輪的計算方法相同，且第8次按鍵較特殊，因此分別以按鍵順序具體計算前4次和第8次按鍵的位置坐標，具體操作前后賽車速度和時間段的階段函數。

假設賽車的初始位置坐標為（0，0），以左、上、右、下按鍵順序操作，具體的對應時間點和時間段賽車的位置坐標，操作前后賽車速度和時間段的階段函數如下表1所示。

對應的賽車運行軌跡坐標圖，如下圖1所示。

3.3四千次按鍵模型的構建與求解

通過（2）構建的四次按鍵模型，基于此，進行迭代遞歸模型設計。

第一，按左鍵時，用戶初始速度為向上10p/s，記為[Vy=10p/s]，按鍵后，用戶獲得向左加速度，通過公式[V=at]和[V12-V02=2as]，獲得用戶在按鍵結束后，在1s區間獲得的向左的速度變量[Vx=-10p/s]，同時向上速度變量為[Vy=10p/s]，運動位移x軸方向為[Sx=-V12-V022a]，y軸方向位移為[Sy=Vy*t]。

第二，按上鍵時，由于按上鍵則向上速度增加20%，則按鍵后，向上速度瞬時變更為[Vy1=Vy0*1.2]。同時由于1s前左鍵的存在，則在x軸方向，依然存在加速度為[-a]的作用力，則速度變量在按上鍵后1s，水平速度變量為[Vx2=Vx1+at]，則[Vx=-20p/s]。

第三，按右鍵時，此時向左的加速度已經持續2s，作用力已經消失，則此時僅有上左兩個方向的勻速運動向量，分別記為[Vx]和[Vy]，按鍵后，水平方向，獲得向右的加速度作用力，在1s后，水平向量根據公式[V1=V0+at]，此時水平速度為[Vx=-20+10p/s]。

第四，按下鍵時，水平方向加速度依然存在，依據加速度公式以及速度位移公式，按下鍵后，豎直方向的速度瞬時變更為[Vy1=Vy0*0.8]，同時此時依然存在向右的加速度作用力，根據公式獲得此后1s，水平速度[Vx=-10+10*1p/s]

基于以上分析，以及問題2的建模求解，采用編程實現，重復4000次按鍵，即1000次循環按鍵。依據此建立遞歸模型，由于每次按鍵時都要依賴前一次按鍵的結果，故此處使用遞歸模型比較合理。模型建立如下：

[fx=ffx]，

此處考慮保留一定小數點位數，此處均以小數點后4位為預定精度，通過編程實現，獲得第4000次按鍵時，即按下鍵時，坐標為P（-39995，1100），速度向量為（0.0，0.0018）。由于以不同精度實現，坐標會有變差，速度向量也會有一定偏差，故此處后續需要進行深入研究。因此，最終速度向量為（0.0，0.00054）m/s。軌跡運行圖如圖2所示：

4方案設計

4.1假設條件

假設游戲中存在障礙球和能量球兩種道具，障礙球和能量球隨著賽車的行進隨機從屏幕上方出現。當賽車撞上能量球時，車速會瞬間提高10%，撞上障礙球時車速會瞬間降低20%。用戶從看見球到做出反應最快需要0.2秒，同時按鍵頻率最快每秒8次。賽車的初始能量可連續運行400km，主動改變一次速度會消耗5%的能量，設計一個能量球和障礙球的布局方案，使用戶能夠松緊得當，結合趣味性和成就感。

4.2設計方案

因為賽車的初始能量可連續運行400km，主動改變一次速度會消耗5%的能量，只能進行20次速度改變按鍵操作，即在20次按鍵操作中，使其可以運行盡量遠的距離。故建立以下幾條原則：

第一，盡量避免上下按鍵，因為上下按鍵將改變賽車速度，消耗能量，降低運行距離;

第二，建立用戶操作自由的原則，理論上滿足用戶對于前方任意物體能夠通過操作進行有意愿的碰撞和躲避;

第三，當速度保持長時間的穩定，缺乏波動時，用戶將無法獲得趣味性和成就感。故此處設計需要滿足速度在一定范圍內進行較大波動，以增加刺激感。

第四，分析可知，當運行速度大于977.2p/s 時（即v=293.19m/s），用戶無論如何操作，將無法有效躲開障礙球，所以違反了用戶選擇自由的原則。故要時刻保證用戶速度在此警戒速度以下。如果用戶以初始速度，不遇到能量球和障礙球的情況下，初始速度為10p/s，即3m/s， 也就是10.8km/h。運行完400km，將需要t=400km/10.8km h也就是37小時，則此時間將大大降低用戶體驗;如果在警戒速度下運行，即293.19m/s，也就是1000km/h下運行，則時間將大大降低為0.37h。

第五，考慮用戶體驗和趣味性成就感，此處設立運行時間理想情況為1h左右。即保證平均速度在400km/h。對應屏幕像素為370p/s。

基于以上分析，設計方案：

在開始區間，密集投放能量球，提高賽車速度，在短時間內，將速度提升到370p/s，則需要碰撞38個能量球。這個過程盡量少得投放障礙球，將速度盡快提升到平均速度。

速度穩定區間中，障礙球和能量球投放比例為1：2.5，每兩個障礙球就需要五個個能量球進行速度恢復。將保證速度可以在平均速度運行。

經過此設計，用戶理想情況可以在1h內完成操作，增加了緊迫感，同時具有趣味性。

5結論

本文應用窮舉法以及遞歸思想，借助python編程構建循環按鍵模型，解決了賽車游戲中的運行軌跡構建問題，并且在相應的假設條件下，構建邊界函數以及警戒區間，合理考慮多種情況，提出集趣味性和成就感于一體的布局方案。為游戲設計者設計游戲方案提供了一定的幫助與借鑒。

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