高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法的應(yīng)用分析

王建宇

摘? 要：在開(kāi)展高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)該結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量方法來(lái)解決具體的代數(shù)及幾何問(wèn)題，從而利用正確的研究視角來(lái)看待不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終找到解決問(wèn)題的方案。本文中筆者主要結(jié)合高中數(shù)學(xué)的平面幾何、三角函數(shù)以及不等式等教學(xué)內(nèi)容，對(duì)向量方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開(kāi)分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);向量分析;解題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 633.6??? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A?????? 【文章編號(hào)】1005-8877（2019）18-0107-01

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，還有很多學(xué)生不知道如何運(yùn)用向量方法來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)也不知道什么時(shí)候可以應(yīng)用向量方法。因此，如何正確引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量方法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題是每個(gè)數(shù)學(xué)老師必須認(rèn)真思考和研究的課題。

1.高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的應(yīng)用

向量方法具有數(shù)與性的特點(diǎn)，能夠幫助學(xué)生理解和解決平面圖形與空間圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，使得幾何與代數(shù)的運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單化，最終降低數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度。那么我們?cè)摬扇『畏N方式才能有效引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量方法來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？筆者現(xiàn)在就試著從數(shù)學(xué)問(wèn)題的角度進(jìn)行簡(jiǎn)要分析：

（1）如何應(yīng)用向量方法解決三角函數(shù)問(wèn)題

數(shù)學(xué)三角函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，如何將三角函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維去思考問(wèn)題，需要數(shù)學(xué)老師采用合理的教學(xué)方法。其中，空間向量方法在數(shù)學(xué)三角函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用具有一定的意義。首先，老師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用空間向量方法將三角函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化;然后，利用空間向量的直觀性來(lái)研究三角函數(shù)問(wèn)題的規(guī)律及特點(diǎn)，這有利于降低問(wèn)題的難度，從而提升學(xué)生的解題效率。

我們以下面三角函數(shù)問(wèn)題為例，如何推導(dǎo)和證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？在這個(gè)題目中，如果學(xué)生不懂得應(yīng)用向量方法來(lái)解決問(wèn)題，勢(shì)必會(huì)耗費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間去解答題目。所以，對(duì)于此類(lèi)三角函數(shù)的證明題，我們可以應(yīng)用向量方法來(lái)進(jìn)行解答。比如說(shuō)，學(xué)生可以利用向量的有關(guān)知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行假設(shè)，如假設(shè)平面上有a、b單位向量，而平面中（e1，e2）為標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中a和e1的夾角是α，b與e2的夾角是β，條件α>β;因?yàn)橄蛄縜在（e1，e2）的坐標(biāo)是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）的坐標(biāo)是（cosβ，sinβ），那么我們可以利用向量數(shù)量積的定義，得到a·b=|a|·|b|cos（α-β）得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。又如，利用向量差的模來(lái)證明余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，由此可見(jiàn)，在分析一些三角函數(shù)證明題的時(shí)候，我們先思考問(wèn)題的性質(zhì)及特點(diǎn)，思考是否可以利用向量方法來(lái)解答問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)解題思路的合理轉(zhuǎn)換，進(jìn)而縮短解題時(shí)間、提升解題的效率。

（2）如何應(yīng)用向量方法來(lái)解決實(shí)際的平面幾何問(wèn)題

對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，平面幾何問(wèn)題屬于難點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，很多學(xué)生都遇到了不同程度的幾何學(xué)習(xí)問(wèn)題。同時(shí)，在一些考試過(guò)程中，大部分學(xué)生都選擇放棄作答相關(guān)的幾何問(wèn)題。這些現(xiàn)象出現(xiàn)的原因主要還是學(xué)生沒(méi)有找到正確的解題思路，不斷徘徊在問(wèn)題的邊緣;而對(duì)于一些平面幾何問(wèn)題，我們可以應(yīng)用向量方法來(lái)進(jìn)行解決。向量方法可以使得部分平面幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有助于將抽象的幾何問(wèn)題變得更加直觀，使得學(xué)生可以盡快找到問(wèn)題的本質(zhì)，并有效地解答問(wèn)題。

比如說(shuō)在求三角形邊的問(wèn)題時(shí)，我們就可以應(yīng)用相關(guān)的向量知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題的解答。假設(shè)在△ABC中，其三個(gè)角對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，如果b=2，c=1，A=45°，D是BC的中點(diǎn)，那么三角形中線AD的長(zhǎng)度是多少？這時(shí)我們可以應(yīng)用向量的運(yùn)算及有形的特點(diǎn)，對(duì)三角形的邊進(jìn)行分析，如利用向量分析AB與AC的關(guān)系，進(jìn)而得到AD的長(zhǎng)度，以將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，有利于得到問(wèn)題解決的答案，又如用平行向量解決平面幾何中的三點(diǎn)共線問(wèn)題等等。

（3）如何應(yīng)用向量方法解決不等式問(wèn)題

不等式問(wèn)題也屬于高中階段數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)及難點(diǎn)問(wèn)題，綜合考驗(yàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用和綜合分析能力;而在部分的不等式問(wèn)題中，向量方法的應(yīng)用也具有一定的作用，也可以幫助學(xué)生盡快找到問(wèn)題的答案。但是，在應(yīng)用向量方法解決不等式問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)分析和歸納題目的條件，考慮可以應(yīng)用哪些向量性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，這樣才能達(dá)到事半功倍的解題效果。

比如，在一些不等式問(wèn)題的求證中，我們也主要是利用向量的數(shù)量積性質(zhì)來(lái)進(jìn)行相關(guān)結(jié)果的求證，如a·b≤|a|·|b|這個(gè)公式普遍應(yīng)用于不等式問(wèn)題的解決;如證明柯西不等式x1x2+y1y2≤（x12+y12）（x22+y22），又如利用向量和、差的幾何意義容易證明三角不等式|a|-|b|≤|a±b |≤|a|+|b|。通過(guò)合理引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來(lái)證明相關(guān)的不等式問(wèn)題，可以使得不等式問(wèn)題更加清晰明了，有助于學(xué)生快速找到解題的思路，進(jìn)而提升解題的效率。

2.高中數(shù)學(xué)解題中向量方法的意義

綜上所述，向量方法可以解答不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題更加簡(jiǎn)單化，也能夠指導(dǎo)學(xué)生有邏輯地處理實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這對(duì)提高學(xué)生的邏輯思維、提升學(xué)生的問(wèn)題推理能力都起到一定的幫助作用。雖然向量方法可以適用于不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是我們應(yīng)用向量方法時(shí)，還是需要結(jié)合實(shí)際的問(wèn)題條件，合理利用向量的有關(guān)性質(zhì)，才能更加有效地發(fā)揮向量方法的解題效果。

參考文獻(xiàn)

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