淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

林平

摘 要：隨著新課程改革的不斷深入，素質(zhì)教育依然是大家探討的核心問題。數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的方法之一，其作用和意義是不言而喻的，是分析問題和解決問題不可少的靈丹妙藥。因此教師要給予充分重視，深入挖掘教材的本質(zhì)，在教學(xué)中落實(shí)貫徹。用數(shù)形結(jié)合解題有簡單、直觀等特點(diǎn)。本文介紹了我對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用的一些思考和看法。

關(guān)鍵字：數(shù)形結(jié)合;解題;運(yùn)用;誤區(qū)

1.數(shù)形結(jié)合思想的理論基礎(chǔ)

“數(shù)形結(jié)合”揭示了幾何中的形與數(shù)的統(tǒng)一，為依形判“數(shù)”與就數(shù)論“形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。這體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的辯證統(tǒng)一。在運(yùn)用此思想解題時(shí)，一些題目較明顯，而一些題目需要構(gòu)造幾何圖形，構(gòu)造是創(chuàng)造力的較高表現(xiàn)形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注息引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題目特征，類比相關(guān)知識(shí)，通過數(shù)學(xué)模型來促使問題的解決，從而培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)性。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，但同時(shí)它也是一柄雙刃的解題利劍。數(shù)形結(jié)合要遵循等價(jià)性、雙向性與簡單性的原則。學(xué)生在應(yīng)用它解數(shù)學(xué)題時(shí)，往往出一些邏輯性的錯(cuò)誤，如：構(gòu)圖不準(zhǔn)確或不具有一般性;錯(cuò)覺性的或片面性的疏漏;用圖形解題時(shí)可能更繁瑣，不優(yōu)美等。本文將通過一些具體的例子來具體說明以上問題，希望引起學(xué)生的重視，以便更有效的應(yīng)用這個(gè)思想幫助我們解題。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中，教師都在有意識(shí)的向?qū)W生灌輸一些數(shù)學(xué)中的思想方法，讓同學(xué)們可以更好的掌握并且運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)方法有很多種，無優(yōu)劣之分，關(guān)鍵在于用的是否恰到好處，其中數(shù)形結(jié)合思想是大家比較熟悉也是在解題過程中比較常見的思想方法。本文旨在通過介紹數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)特征，以及他在具體解題過程中的一些應(yīng)用，希望能讓讀者更好的了解和掌握數(shù)形結(jié)合這種思想方法。

華羅庚教授說過：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難人微;數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。”從中我們不難看出兩點(diǎn)：

其一，數(shù)形結(jié)合法是求解數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。

其二，數(shù)與形兩者之間有著非常緊密的聯(lián)系，相互體現(xiàn)，相互依存，這也正是數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)特征。

那么究竟什么是數(shù)形結(jié)合思想呢？

數(shù)形結(jié)合思想，它是利用已知條件得到相應(yīng)的圖形，把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀圖象結(jié)合起來，直觀分析，即以圖形或圖像之間的關(guān)系反映相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，從而使許多復(fù)雜問題得到簡便的解決的數(shù)學(xué)思想方法。“數(shù)形結(jié)合”揭示了幾何中的形與數(shù)的統(tǒng)一，為依形判“數(shù)”與就數(shù)論“形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。這體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的辯證統(tǒng)一。

2.數(shù)型結(jié)合思想的應(yīng)用舉例

2.1數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

不等式的各種題型涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)，綜合性強(qiáng)，題目難度可大可小，是高考的常考題型之，要順利地解決這類題型，就必須具各靈活的創(chuàng)新能力，運(yùn)用化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想把其他問題轉(zhuǎn)化為不等式問題。下而就數(shù)學(xué)思想在不等式中的應(yīng)用作以下介紹：

著名數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)形結(jié)合給出如下精辟論述：數(shù)形本是兩依依，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形相助雙翼飛。在解一些有關(guān)不等式問題的過程中，可根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想有關(guān)的幾何圖形，巧妙地將不等式轉(zhuǎn)化為圖形，從而找到較為簡便的解法。

2.2數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在三角函數(shù)這一章的學(xué)習(xí)中，要非常重視數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，尤其是在選擇、填空題中，除了常見的求二角函數(shù)單調(diào)性、值域、最值等借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行處理外，以下問題也可以用數(shù)形結(jié)合法解決：

例1：函數(shù)的最小正周期？

常規(guī)方法：用定義進(jìn)行驗(yàn)證

巧解：先畫出的圖象然后將g（x）圖象中x軸下方的部分沿x軸翻折上去，既得f（x）的圖象，由圖象可得最小正周期為π。

2.3數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用

集合問題是高中整個(gè)知識(shí)體系中一個(gè)比較基礎(chǔ)的知識(shí)模塊，在高考中，雖然所占比重不是很大，但是“集合”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用確是十分的廣泛。在解有關(guān)題目的時(shí)候，往往會(huì)用到數(shù)形結(jié)合思想，有時(shí)也許有很多種求解方法，但是通過數(shù)與形的結(jié)合是最直觀和方便的。

2.4數(shù)形結(jié)合在平面向量中的應(yīng)用

“數(shù)形結(jié)合”思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有著廣泛的應(yīng)用。我們知道向量可以按照一定的運(yùn)算率進(jìn)行加、減、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算，很多同學(xué)會(huì)以為向量是屬于代數(shù)范疇。但我們知道以上的運(yùn)算都有它的幾何意義，因而向量實(shí)際上又是屬于幾何范疇，故可以說向量是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的典范。我們?cè)诮忸}時(shí)，若能巧妙地結(jié)合向量的幾何意義，可以將許多復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化。下面通過幾例談?wù)劇睌?shù)形結(jié)合”思想在向量中的幾種應(yīng)用。

3.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)建議

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育越來越重視學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，其中很重要的一點(diǎn)就是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。那如何創(chuàng)新呢？一方面，從情感態(tài)度上我們要求學(xué)生要開闊視角，勇于創(chuàng)新，另一方面，我們必須加強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)思想意識(shí)的教育。從某種意義上講，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)新的源泉和基礎(chǔ)，只有讓學(xué)生了解和掌握了一定了數(shù)學(xué)思想，才能讓他們?cè)跀?shù)學(xué)的天空里飛得更高更遠(yuǎn)。

在此，筆者就對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想提出如下幾點(diǎn)建議：

（一）我們要讓學(xué)生了解到數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系以及形式上的相對(duì)統(tǒng)一，再讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的“美”的同時(shí)，加深他們對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)。從而讓他們從主觀上接受數(shù)形結(jié)合思想。

（二）在對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問題。通過有針對(duì)性的練習(xí)，才能讓學(xué)生更深刻的領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)以及強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

（三）在新課標(biāo)的教學(xué)大綱中，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)是一個(gè)重點(diǎn)同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。我們一方面要讓學(xué)生有解題的方法技能，同時(shí)另一方面又要讓學(xué)生具備適應(yīng)新問題的以及解決新問題的能力，這有需要教師在日常的教學(xué)工作中不能只拘泥與教授學(xué)生方法技能，更應(yīng)該側(cè)重與培養(yǎng)他們自己的探索，創(chuàng)新能力。讓課堂中的“我教你學(xué)”變成“我引導(dǎo)你發(fā)現(xiàn)”，只有這樣，我們才能在素質(zhì)教育的大道上越走越遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]許建冬.“數(shù)”與“形”——淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用[J].人生十六七，2017（11Z）：64-64.