借助幾何直觀培養學生空間數感策略探究

黃福齡

摘要：借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中發揮著重要作用。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義。質量觀念、空間觀念都屬于數感的范疇。立體圖形的多面性和抽象性對于小學生來說有一定難度，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，幫助學生建立空間觀念。

關鍵詞：幾何直觀;空間數感;數學教學

數感作為新課標中的十大核心概念之一，新課標將其定義為一種感悟。這既包括感知又包括領悟，既有感性思維又有理性的思維。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義。質量觀念、空間觀念都屬于數感的范疇。

學生在一年級認識了立體圖形后，在五年級下冊開始認識體積和體積單位，并學習計算圖形的體積。立體圖形的多面性和抽象性對于小學生來說有一定難度，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，幫助學生建立空間觀念。有了空間觀念還不夠，培養學生對抽象的三維空間的數感，有利于學生快速對幾何空間問題的判斷和決策，從而培養數學學科素養。下面以體積單位的認識和體積的計算教學為例，探討借助幾何直觀對于建立空間數感的意義。

教學片段一：一粒粒的體積單位

師：我們知道物體的體積有大有小，計量長度，我們用一條條的長度單位——厘米、分米等;計量面積，我們用一塊塊的面積單位——平方厘米、平方分米等;那么計量體積又用什么單位好呢？

生1：用體積單位：立方厘米、立方分米、立方米等。

師：你見過體積單位嗎？它長什么樣的？

生2：1立方厘米有這么長（學生用食指和大拇指夾住1厘米左右的長度）。

生3：1立方厘米有指甲這么大（學生舉起大拇指說）。

生4：不對不對，那是測量長度和面積的單位，測量體積的單位應該是一粒粒的，好像是一個正方體。

師：有道理嗎？（學生點點頭）那么1立方厘米是一個怎樣的正方體呢？

生5：應該是棱長1厘米的小正方體。

師：觀察一下，你身邊有大約1立方厘米大的物體嗎？

生6：骰子、橡皮、大拇指頭。

教師出示課件：如果下面的圖形都是由體積是1立方厘米的小正方體堆砌成的，那么下面各圖占的空間有多大呢？

【評析】以上是讓學生認識一立方厘米的教學片段，在師生的深度對話中，學生進行了深度思考。在教學過程中運用了遷移、對比、直觀、想象的教學方法，讓學生建立起體積單位的概念。從生2和生3的回答可見，有學生對單位的認識還停留在平面上，沒有上升到立體空間，而且對平面和立體的數感容易混淆。因此教學中宜用教具1立方厘米和身邊熟悉的參考物，充分建立1立方厘米的表象。讓學生直觀感知：長度單位是一條條的、面積單位是一塊塊的、體積單位是一粒粒的。確定了標準，然后根據標準去測量物體的體積。讓學生積累數空間里的體積單位的經驗，這是培養學生空間數感的起點。如果學生深刻地認識了1立方厘米，那么就不難理解1立方分米和1立方米了。對于抽象的1立方分米和1立方米，也可以借助幾何直觀，尋找學生身邊熟悉的物體作為標準，讓學生記住體積單位的表象。體積單位觀念的建立，有利于日后佶算物體的體積的大小，從而培養空間幾何的數感。

教學片段二：數出來的體積

一、趣味導入

1.我拼你說

（1）教師出示用棱長1cm的正方體搭成的不規則立體圖形，學生通過數一數口答圖形的體積。

（2）如果搭成規則圖形長方體和正方體，有更快的數出體積的方法嗎？讓學生說說數得快的方法，初步滲透長×寬×高的方法。

（3）出示被遮擋的長方體讓學生說體積，以突出只需要關注長方體的長、寬、高的數據。

2.情景設疑

（1）沒有方塊提示，直接問一個長方體的體積是多少。

（2）學生需要借助方塊測量、切割嗎？如果玉石不能切割，有其他辦法嗎？

【設計意圖】通過數體積單位來計算體積的方法，培養學生的空間觀念，讓學生感知規則圖形的體積的計算方法是有規律的，引導學生探究規則圖形的體積計算的規律，也就是體積的計算方法。

二、推導公式

1.猜想：量出它的長、寬、高的數據就可以計算。是不是所有的長方體的體積都可以用長乘寬乘高來計算呢？

2.驗證。

（1）小組合作，用準備好的12塊1cm的小正方體，任意擺出不同的長方體，然后把數據填入下表。

（2）通過實驗進一步驗證：無論怎么擺成長方體，長方體的體積都正好等于長方體長、寬、高的乘積。

歸納：長方體的體積=長×寬×高（如果用字母V表示長方體的體積公式可以寫成V=abh）

【設計意圖】讓學生動手操作，合作探究長方體的體積的計算的規律，滲透歸納推理的思想方法，總結規律，形成模式，即計算公式。

【評析】如果立體圖形的體積都可以看作這個圖形是用體積單位堆砌成的，那么任何立體圖形的體積的測量和計算都可以通過數體積單位而得到結果，只是規則圖形有更快的數的方法，并形成規律，即公式，而計算不規則圖形的體積可以用估測或排水法等等。曾經對一個班的學生做過調查，有97%的學生知道用長×寬×高可以算出長方體的體積，但只有58%的學生知道為什么可以用長×寬×高算出體積，大部分學生覺得如果不知道長、寬、高就無法計算體積。這說明了教學過程中如果太強調公式計算的好處，則會忽略了本質，導致很多學生只知道計算公式，并不知道為什么這樣算，對公式進行變式就無法算，所以教學要追本溯源。長度用長度單位測量，面積用面積單位測量，體積用體積單位測量，所以通過數體積單位知道物體的體積是通法，適用于任何圖形。學生在數體積單位的過程中，發現有的規則圖形，如長方體、正方體，可以有更快的數的方式，就是先數一行有幾個，再數一層幾個，再乘層數就能快速數出它占的空間有幾個體積單位，因而得出長方體的體積跟它的長、寬、高有關。教師在教學中借助幾何直觀圖，讓學生積累從直觀數據到抽象概念或模型的活動經驗，能幫助學生從本質上掌握概念的意義或解決問題的方法，而不是表面的簡單記憶。

學生空間觀念方面的數感建立了，就不會盲目用公式計算物體的體積，而是從物體的長、寬、高三維數據去分析物體所占的空間大概有多少去解決問題。如常見問題：把一塊長12厘米，寬5厘米，高4厘米的石頭裝在長8厘米，寬8厘米，高5厘米的長方體禮盒里，裝得下嗎？

生1：石頭的體積是12×5×4=240（立方厘米）禮盒的體積是8×8×5=320（立方厘米）禮盒的體積>石頭的體積，所以裝得下。

生2：因為石頭的長、寬、高的數據與禮盒的長、寬、高相比，其中禮盒的長8厘米<石頭的長12厘米，所以裝不下。

可見，生1是對長方體的體積計算方法停留于表面記憶，并不理解，更談不上空間觀念上的思考。而生2則從幾何空間思考立體圖形的三維數據進行合理分析問題。二者區別在于理解和不理解，有空間觀念和無空間觀念的機械計算。因此，對于幾何空間的概念或計算方法的起始課，很有必要借助幾何直觀，幫助學生建立空間觀念和空間上的數感。

“數感”在數學學習上是非常重要的必備素養，而空間幾何圖形的數感對于仍停留在直觀思維較多的小學生來說是比較困難的，為了突破這個難點，教師可借助幾何直觀，增強學生理解空間的數據特點，建立空間觀念，培養空間數感。綜合上面的教學例子，進一步說明建立空間觀念和培養數感的重要性，正如《課標》所說，對于幾何圖形一類的教學同樣適用。