化“非常規(guī)”為“常規(guī)”

陳愛弟

一、讀透教材，收集素材

數(shù)學(xué)教材不僅是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，也為教師提供了教學(xué)活動的基本線索和方法。筆者抓住內(nèi)容的重難點、教學(xué)目標、新舊知識的連接點，對求“不規(guī)則礦泉水瓶子的體積”進行研讀。基于學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)，教材創(chuàng)設(shè)熟悉的生活情境：利用礦泉水瓶中的水求出整個瓶子的體積。這樣的圖形對學(xué)生的原有知識架構(gòu)具有一定挑戰(zhàn)性，也激發(fā)學(xué)生對這熟悉而非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生較大的興趣。教材意在：有意識利用數(shù)學(xué)的方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題。

二、構(gòu)思主線，準確定位

教學(xué)目標不僅是解決這一具體問題，更重要的是在這一過程中提高學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生在探究的過程中理解和掌握轉(zhuǎn)化的思想，體會轉(zhuǎn)化的實質(zhì)是“變中不變”的數(shù)學(xué)思想。激發(fā)筆者思考以下幾個問題。

思考一：如何準確把握教學(xué)內(nèi)容？

在實現(xiàn)教學(xué)的知識與技能目標的同時，把數(shù)學(xué)思想的滲透進一步融入到課堂中，并成為課堂的“靈魂”。例如在設(shè)計“求不規(guī)則礦泉水瓶子的體積”時應(yīng)該根據(jù)教學(xué)重難點，簡明扼要地表述在解決問題的過程中突出轉(zhuǎn)化、推理和變中不變的數(shù)學(xué)思想。

思考二：如何指導(dǎo)學(xué)生自主探究？

教學(xué)時，筆者抓住關(guān)鍵點——在瓶子倒置前后用“什么變了，什么不變”來引發(fā)學(xué)生的積極思考，并讓學(xué)生動手倒置水瓶，引導(dǎo)學(xué)生觀察瓶中的變化情況。在學(xué)生對瓶中水的部分與空氣部分有了形狀和體積的變與不變的理解后，繼續(xù)追問：計算瓶子的容積需要把瓶子轉(zhuǎn)換成什么來求呢？目的是通過“問題—直觀—追問”等各種方式來激發(fā)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，進一步發(fā)展學(xué)生解決問題的能力。

思考三：如何使學(xué)生觸類旁通？

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維解決問題。因此，筆者教學(xué)時，致力于讓學(xué)生親身經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的完整過程，懂得解決“這一類不規(guī)則而近似圓柱物體的體積”的實際問題。于是，根據(jù)教學(xué)目標這一“方向盤”，設(shè)計有梯度而循序漸進的練習(xí)題能進一步檢驗學(xué)生的掌握程度和應(yīng)用能力。

三、研討方法，先學(xué)引領(lǐng)

筆者結(jié)合學(xué)校的小課題研究“如何有效地組織好學(xué)生的課前預(yù)習(xí)”。“課前預(yù)習(xí)”使學(xué)生的問題、疑難得以提前暴露，能最大程度地發(fā)揮和提高學(xué)生的自學(xué)與合作能力，提高課堂效率。而想要突顯好課前預(yù)習(xí)的效果，設(shè)計一份有效的《預(yù)習(xí)提綱》尤為關(guān)鍵。《求不規(guī)則礦泉水瓶子的體積》的預(yù)習(xí)提綱設(shè)計，筆者按照“調(diào)查—實驗—修正”三個環(huán)節(jié)展開，最后商討定稿。

（一）調(diào)查

第一次設(shè)計好《預(yù)習(xí)提綱》后，組織不同水平的幾個學(xué)生進行口頭測試，測試表明：這些學(xué)生對利用“什么方法計算什么圖形的體積”缺乏解題思路。另外，解決思路的提示局限了學(xué)生的思維發(fā)展。

顯然，方案一的問題設(shè)計不符合學(xué)生的知識儲備，也不利于發(fā)揮學(xué)生的獨立探究和思維鍛煉，必須修改。

（二）實驗

第二次研討，抓住解決問題的突破口——倒置前后，哪些量不變？只有抓住“不變量”，學(xué)生就容易找出“等量關(guān)系”。于是修正后得出方案二，如下：

討論定稿后，提前讓學(xué)生做好預(yù)習(xí)，課堂反饋針對提綱第1題的作答情況，匯總?cè)缦拢?/p>

從表格數(shù)據(jù)可見：學(xué)生比較容易得到“瓶子的容積與瓶中水”的體積不變，但相當一部分學(xué)生容易忽略瓶中“無水部分”即“空氣”的體積不變。而關(guān)注瓶子外在特點如瓶子的底面半徑、直徑、底面積和高度這些非本質(zhì)的東西的學(xué)生所占比率較大，甚至有個別學(xué)生認為：倒置前后，水的高度不變。這種錯誤的表象，反映出個別學(xué)生缺乏細心的觀察和深入的思考。

（三）修正

根據(jù)學(xué)生存在的問題和內(nèi)容設(shè)計的局限，科組再次討論，問題的設(shè)計關(guān)鍵要讓學(xué)生明白“倒置前后，瓶中的什么變了，什么不變”這一本質(zhì)，并理解：計算瓶子的容積可以轉(zhuǎn)化成什么來計算呢？修改得到方案三，如下圖：

這一份《預(yù)習(xí)提綱》較之前兩份，思維更開放，能進一步發(fā)揮學(xué)生的獨立探究能力，深入引發(fā)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：倒置前后，水和空氣部分的形狀是變化的，而水和空氣部分的體積又是不變的。有利于把“未知知識（不規(guī)則形狀的體積）轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識（規(guī)則形狀的體積即圓柱形的體積）來解決”。

四、施行預(yù)案，有效落實

有效的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的需要，適時提出探究問題，做到難易有度、循序漸進。基于“轉(zhuǎn)化和變中不變”的思想內(nèi)涵、教材編排及真實學(xué)情，筆者從四“巧”進行有效教學(xué)。

（一）巧設(shè)情境

好的情境設(shè)計往往能在短短幾分鐘就吸引住學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗，滲透數(shù)學(xué)思想方法。做法如下：

筆者首先簡單地復(fù)習(xí)用排水法求出土豆與西紅柿的體積，用捏壓法求出橡皮泥的體積。通過回顧舊知，讓學(xué)生溫故而知新，喚醒學(xué)生腦海里已有的“轉(zhuǎn)化”方法，即把“不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體的體積計算”。

接著，出示一個空礦泉水瓶，追問：如何求它的體積？目的引發(fā)學(xué)生大膽地設(shè)想解決問題的方法。乘勝追擊：沒有任何測量工具，只知道直尺、瓶子與瓶子里的一部分水，你還能求出瓶子的體積嗎？學(xué)生通過一連串地追問，激發(fā)學(xué)生對問題解決的欲望與興趣。

（二）巧用預(yù)案

利用預(yù)習(xí)提綱和課前四人小組匯報交流，課堂上學(xué)生的思維更加流暢、靈敏。

1.實物操作，直觀明了。

要使學(xué)生較好地參與幾何與圖形的新知學(xué)習(xí)，關(guān)鍵讓學(xué)生親身經(jīng)歷實踐操作，積累豐富的活動經(jīng)驗。

追問完“瓶子倒置前后，什么變了，什么不變”，接著就讓學(xué)生進行實物演示，目的讓學(xué)生邊操作邊觀察發(fā)現(xiàn)：水的形狀在倒置前是規(guī)則的圓柱體，而倒置后變成一個不規(guī)則的形狀，但水的體積不因為形狀的變化而變化。同理，空氣的體積在倒置前是一個不規(guī)則形狀，在倒置后變成一個規(guī)則的圓柱體，體積仍然不變。“演示+分析”讓學(xué)生充分體會“變中不變”數(shù)學(xué)思想。

2.動畫合成，化難為易。

利用多媒體的動畫效果，圖、文、聲并茂，直觀、形象地加強學(xué)生對“倒置前圓柱形水的體積與倒置后不規(guī)則水的體積”和“倒置前不規(guī)則空氣的體積與倒置后圓柱形空氣的體積”兩個等量關(guān)系的理解。順勢出示：倒置前圓柱形水的體積+倒置后圓柱形空氣的體積=拼成新圓柱形的體積，也就是瓶子的容積。

通過“動畫合成”的操作演示，不僅可以使靜態(tài)的教學(xué)內(nèi)容變?yōu)閯討B(tài)的畫面，也使枯燥抽象的數(shù)學(xué)知識變得生動具體。重點是把“不規(guī)則的瓶子”轉(zhuǎn)化成“兩個圓柱體”進行計算，把新學(xué)知識的難點分解為已學(xué)知識，是開啟學(xué)生智慧的“魔法棒”。同時，再次加深學(xué)生對“轉(zhuǎn)化思想”的理解與應(yīng)用。

3.全班匯報，強化思路

讓學(xué)生參與全班匯報，不但有利于學(xué)生積極參與教學(xué)過程，而且能強化訓(xùn)練學(xué)生的語言和思維。根據(jù)學(xué)生匯報情況可知：大部分學(xué)生都能正確計算出倒置前圓柱形水的體積和倒置后圓柱形空氣的體積，求出兩部分圓柱形的體積和就是求瓶子的容積，但不能完整表述“倒置前與倒置后”這些本質(zhì)性語言，也就說明：學(xué)生在預(yù)習(xí)過程中，無法正確理解“變中不變”數(shù)學(xué)思想所蘊藏的“等量關(guān)系”。

（三）巧練題型

當堂達標教學(xué)中的練習(xí)題，既要讓學(xué)生“熟能生巧”，又要防止學(xué)生“熟而生厭”。因此，在設(shè)計時，要特別強調(diào)教學(xué)重點與梯度，做到難易得當，層層推進。

筆者結(jié)合本課重難點，設(shè)計兩道基礎(chǔ)題和兩道變式題，既檢測到學(xué)生的掌握程度，又體現(xiàn)出學(xué)生靈活運用知識的能力。其中，第三題對中下生來說有一定的難度，采取小組討論。討論結(jié)果方法多樣：有些學(xué)生利用解方程先求出底面積，再求出汽水體積;也有個別學(xué)生利用分數(shù)乘法解決，把汽水體積看成1.5L的二十五分之二十（或五分之四）來求。從學(xué)生的當堂測驗結(jié)果看到：學(xué)生能較深刻地理解“轉(zhuǎn)化思想與變中不變的數(shù)學(xué)思想”，能較靈活地運用所學(xué)思想解決這一類問題。

（四）巧妙提升

課末，筆者引領(lǐng)學(xué)生進行回顧總結(jié)，并介紹生活中這一類型問題，如生病打點滴時輸了多少液體等，激發(fā)學(xué)生思考，并延伸到生活中。

總之，轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想方法不管在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上還是在生活上都能廣泛應(yīng)用，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的有效滲透，構(gòu)建高效課堂，要求我們要以生為本，準確定位，打通學(xué)生新舊知識之間的“連接點”，使學(xué)生學(xué)會利用轉(zhuǎn)化思想和變中不變思想，化“非常規(guī)問題”為“常規(guī)問題”。