高相對度非正則離散拋物分布參數系統迭代學習控制

梅三各 戴喜生 余莎麗 吳卻

摘? ?要：對一類具有高相對度的非正則離散拋物型分布參數系統的迭代學習控制問題進行了研究.首先將集中參數系統高相對度的定義相應的推廣到離散分布參數系統.基于本文的非正則離散分布參數系統，設計了一類帶有相對度為p的離散分布式迭代學習控制算法.然后由偏差分方程解的一般形式，將該分布參數系統降維處理為一般的離散線性系統，給出了在適當初邊值條件下迭代跟蹤誤差沿迭代軸收斂的充要條件.用線性系統穩定性理論證明了本文所設計的分布式學習控制算法的收斂性.數值例子說明了所給算法的有效性.

關鍵詞：相對度;迭代學習控制;離散分布參數系統;非正則系統

中圖分類號：TP273? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.01.005

0? ? 引言

相對度描述的是以系統動力學為橋梁，系統的控制輸入直接饋給（簡稱為直饋）系統輸出程度的量[1].根據文獻[2]關于非正則系統的介紹可知，系統的完全非正則性可以用相對度的概念來描述，相對度為[r]的系統即為[r]階完全非正則系統.迭代學習控制是一種可實現完全跟蹤的控制算法，具有結構簡單，應用廣泛等特點.目前關于迭代學習控制算法的研究大多都是針對相對度為1或0的可重復動態系統設計的[3-6]，這些算法一般比較簡單，比較容易設計和調節就能實現有限時間區間上的完全跟蹤任務. 然而，實際應用中有許多系統相對度大于1甚至更高，比如，文獻[7]提到的非完整機器人系統，以及文獻[8]提到的相對度大于4的系統，對類似系統，通常的一些算法收斂性條件將不再成立.比如，考慮下面的離散時間系統：

一般的，要根據系統高相對度的特點建立相應的迭代學習控制算法來修正控制信號：對于[rr≥1]階完全非正則系統，可由系統當前次運行的跟蹤誤差[e]的[r]或[r-1]階導數來構造迭代學習控制策略[1]，以達到修正控制輸入信號，對期望軌跡實現完全跟蹤的目的.文獻[1]以高相對度線性時不變系統為研究對象，給出了一類基于高相對度的迭代學習控制算法;針對具有任意相對度的非線性連續時間系統，文獻[2]設計了一類基于數據采樣的迭代學習控制算法;文獻[10]研究了一類具有高相對度的不確定線性連續時間系統的迭代學習控制，提出了一種自適應迭代學習控制算法;文獻[11]提供了一類分析具有高相對度2D Roesser 系統迭代學習控制分析方法;針對一類具有高相對度的線性離散時間系統，文獻[12]設計了帶有相對度[p]的迭代學習控制算法.以上文獻的研究對象都是由常微分方程或者常差分方程構成的集中參數系統，盡管有些文獻已經研究了分布參數系統迭代學習控制問題[13-14]，目前研究由偏微分或偏差分方程構成的高相對度分布參數系統的迭代學習控制問題還未見有報道.本文則是首次對具有高相對度的非正則離散分布參數系統的迭代學習控制問題的進行研究.

1? ? 高相對度非正則離散拋物分布參數系統描述

考慮如下的單輸入單輸出高相對度非正則離散拋物分布參數系統：

數值仿真結果如圖1—圖4所示.

圖1是系統運行時的期望曲面，圖2是第20次運行時的輸出曲面，圖3是第20次運行時實際輸出與期望輸出的誤差曲面，圖4是迭代次數與每次運行時實際輸出與期望輸出之間最大誤差的關系圖.由圖3可以看出在第20次運行時，相應的迭代誤差可以滿足.由圖4可以看出在第6次運行時輸出軌跡對期望軌跡基本實現完全跟蹤.因此，數值仿真結果驗證了本文所提出算法的有效性.

4? ? 結語

本文利用學習控制方法對非正則離散拋物型偏差分系統進行了研究，設計了基于相對度的控制算法，得到誤差沿迭代軸收斂的結果，數值仿真也驗證了所給算法的有效性.利用該算法的思想，未來可考慮進一步推廣到雙曲型系統.

參考文獻

[1]? ? 阮小娥， 王杰. 高階相對度線性時不變系統的迭代學習[J].? 應用數學學報，2014，37（6）：1077-1092.

[2]? ? SUN M X， WANG D W. Sample-data iterative learning control for nonlinear systems with arbitrary relative degree[J]. Automatic， 2001，37（2）：283-289.

[3] 肖陽， 朱芳來. 非正則線性系統閉環P型迭代學習控制算法[J]. 桂林電子工業學院學報，2006，26（3）：191-194.

[4] 施建禮， 宋召青， 王文才. 非正則線性系統的閉環P 型迭代學習控制[J]. 計算機仿真，2003， 20（10）：71-73.

[5] 傅勤. 二階非線性雙曲型分布參數系統的迭代學習控制[J]. 系統科學與數學，2014，34（3）：284-293.

[6] HUANG D Q，XU J X，LI X F，et al. D-type anticipator iterative learning control for a class in homogeneous heat equations[J]. Automatica， 2013， 49：2397-2408.

[7]? ? 胡躍明，譚慧瓊，李迪. 基于非線性系統相對度的學習控制算法及在非完整移動機器人中的應用[J]. 控制理論與應用， 2001，18（5）：662-668.

[8]? ? DABO M，CHAFOUK H，LANGLOIS N.Unconstrained NCGPC with a guaranteed closed-loop stability：case of nonlinear SISO systems with the relative degree greater than four[C]//Proceedings of the 48h IEEE Conference on Decision and Control （CDC） held jointly with 28th Chinese Control Conference，2009，12，1980-1985， Shanghai，China.

[9]? ? 毛祖永，李曉東. 具有迭代初始誤差的高相對度線性離散系統的迭代學習控制[J]. 控制理論與應用，2012，29（8）：117-120.

[10] CHIEN C J， YAO C Y. An output-based adaptive iterative learning controller for high relative degree uncertain linear systems[J]. Automatic， 2004， 40（1）：145-153.

[11] MENG D Y， JIA Y M， DU J P， et al. Data-driven control for relative degree systems via iterative learning[J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 2011， 22（10）：2213-2225.

[12] WEI Y S，? LI X D. Iterative learning control for linear discrete-time systems with high relative degree under initial state vibration[J]. IET Control Theory & Applications. 2016，10（10）：1115-1126.

[13]? 戴喜生，張建香，袁海英，等.基于閉環P型學習控制的線性分布參數切換系統故障診斷[J].廣西科技大學學報，2016，27（4）：7-14.

[14]? 戴喜生，羅文廣，曹立生，等.初值大偏差分布參數系統迭代學習跟蹤控制[J].廣西工學院學報，2012，23（4）：18-22.

[15]? ILCHMANN A，MULLER M. Time-varying linear systems：relative degree and normal form[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2017，52（5）：1-17.

[16] CHENG S S. Partial difference equation[M]. London and New York： Taylor & Francis， 2009.