向量模的最值問題典例剖析

李正順

向量是近代數學中重要的基本概念之一，有深刻的幾何背景，是溝通代數、幾何與三角函數的一種有力工具，有著極其豐富的實際背景，在數學和物理學科中也具有廣泛的應用。所以向量成為每年高考的一個熱點，向量模的最值問題更是熱點中的熱點，每年?？疾凰ィ旅嫱ㄟ^典型例題剖析與向量模的最值相關的幾種問題。

1、以向量的相互關系為載體求向量模的最值

這是一種最常見的題型，此類問題一般是通過幾個向量之間的某種關聯做為已知，來求未知向量模的最值；請看下面問題：

例.已知 是平面向量， 是單位向量，若非零向量 與 的夾角為 ，向量 滿足 ，求 的最小值。

思路探求：本題是以向量為載體求相關向量模的最值問題，需要先確定向量 所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據直線與圓的位置關系巧妙的實現問題的轉化。

解：設

則由 得 ，

由

得

因此 的最小值為圓心 到直線 的距離 減去半徑1，為

方法點睛：此類向量與函數、不等式、三角函數、曲線方程等相結合的綜合問題；解決的關鍵是將問題進行合理的轉化?？梢酝ㄟ^向量的坐標運算，將問題轉化為解方程、解不等式、求函數值域或直線與曲線的位置關系。

2、已知向量模的最值求參數的取值范圍

求參數范圍問題是各類考試的一個熱點，以向量模的最值為背景更增加了題目的靈活性，如何將二者有機結合是解決此類問題的關鍵。請看下例，

例、在

恒成立，求實數t的取值范圍。

思路探求：從已知可以得出向量AC的模長，所以相當于左邊向量模的最小值已知，只需將其平方，化為t的二次不等式即可解出t范圍.

解：在直角三角形ABC中，易知AC=1， 由

方法點睛：將已知合理變型，尋找已知與所求之間的聯系是解決此類問題的核心所在。

3.已知向量模長求向量模的最值

給出向量的模，求解其他向量模的最值是一種常見問題，這種問題只給出向量的模長，向量之間關系不明確。需要通過向量的運算來梳理，同時需要綜合運用其他知識求解，請看問題；

例.已知向量 滿足 ，求 的最小值和最大值。

思路探求一：向量之間的沒有直接的關系，所以需要創造條件來建立向量之間的聯系，可以通過向量間的夾角實現二者的關聯，同時解題過程需要三角函數知識做為基礎。

解法一：設向量 和 的夾角為 ，由余弦定理有 ，

，

則 ，

令 ，則 ，據此可得： ， ，即 的最小值為4，最大值為 .

思路探求二：注意到相關量的幾何特征，可以通過數形結合及線性規劃求向量模的最值。

解法二記 ，則 ，由余弦定理可得： ， ，令 ， ，則 ，其圖象為一段圓弧 ，如圖，令 ，則 ，

則直線 過 、 時 最小為 ，當直線 與圓弧 相切時 最大，由平面幾何知識易知 即為原點到切線的距離的 倍，也就是圓弧 所在圓的半徑的 倍，所以 .綜上所述， 的最小值為4，最大值為 .

方法點睛：這類問題通常涉及的知識面較廣，解決問題時可能會利用函數的最值及其幾何意義，數形結合能力，余弦定理、線性規劃等基礎知識，需通過解題進行方法的積累。

4.已知向量數量積求模的最值

數量積是向量的一種基本運算，無論是在代數還是幾何方面都有廣泛應用，通過向量的數量積，可以求向量間的夾角，可以求向量的模長，也可以證明平行與垂直問題，通過數量積做為載體求向量模的最值也是常用的方法，請看下題：

例、已知 是空間單位向量， ，若空間向量 滿足 ，且對于任意 ， ，求

思路探求：由題意和數量積的運算可得< · >= ，不妨設 =（ ， ，0）， =（1，0，0），由已知可解 =（ ， ，t），可得| ﹣（ |2=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，由題意可得當x=x0=1，y=y0=2時，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，由模長公式可得 |.

解：∵ · =| || |cos< · >=cos< · >= ，

∴< · >= ，不妨設 =（ ， ，0）， =（1，0，0）， =（m，n，t），

則由題意可知 = m+ n=2， =m= ，解得m= ，n= ，∴ =（ ， ，t），

∵ ﹣（ ）=（ ﹣ x﹣y， ，t），

∴| ﹣（ |2=（ ﹣ x﹣y）2+（ ）2+t2

=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2，

由題意當x=x0=1，y=y0=2時，（x+ ）2+ （y﹣2）2+t2取最小值1，

此時t2=1，故 |= =2

方法點睛：本例巧妙的利用空間向量的坐標將看似非常復雜，關系錯亂的向量之間聯系起來，通過坐標運算實現了問題向簡單轉化。

5、已知向量模的最值求數量積（數量積的最值）

這是與上面類型相反的一種問題，需要將已知的向量模的最值進行合理變化，找到最值與數量積之間的關系，舉例如下：

例、已知平面向量 ， ， ， .若對任意單位向量 ，均有 ，則 的最大值是_________.權所

思路探求一：根據向量三角形不等式的關系以及向量數量積的應用進行計算即可得到結論.

解：∵|（ + ）· |=| · + · |≤| · |+| · |≤ ，

∴|（ + ）· |≤| + |≤ ，平方得：| |2+| |2+2 · ≤6，

即12+22+2 · ≤6，則 · ≤ ，故 · 的最大值是 ，

思路探求二：可以將相關向量坐標化，再利用三角函數的最值求出數量積的最值。

解：令 則由 ，可得

（1）令 （2）

（1） +（2） 得：4[ ] + 對一切實數 恒成立，所以4[ ] ，故 [ ]

方法點睛：此類題目主要考查平面向量數量積的應用，根據絕對值不等式的性質以及向量三角形不等式的關系是解決本題的關鍵.綜合性較強，有一定的難度.

6、以解析幾何為背景的向量模的最值

向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關最值問題。

例、已知動點P（x，y）在橢圓上C 上，F為橢圓C的右焦點，若點M滿足 ，求 的最小值。

思路探求：由已知可知M的軌跡是園，數量積為零則給出了直角三角形，結合橢圓焦半徑范圍可解要求最值。

解：由橢圓的方程知其右焦點F為（3，0）因為 ，所以點M的軌跡是以F為園心，1為半徑的園，由于 ，所以 ，在Rt

，由于點P（x，y）在橢圓上，所以 ，即 所以 可知 的最小值為

方法點睛：解析幾何中這種向量模的最值問題大量存在，只有在熟悉解析幾何的基礎上才能靈活處理。解題中注意各條件之間的聯系，合量利用有關圖形的幾何性質。另外在立體幾何同樣也會遇到這種向量模的最值問題，在此不再展開。

以上所論述的是向量模的最值的常見題型，實際上，向量模的最值問題遠遠不止這些，本文只想通過這幾種題型的介紹，起到一個拋磚引玉的作用，有許多不足之處希望各位專家與同行們加以批評與指正。

反饋練習：

1、設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為π6，則|x||b|的最大值等于 .

2、已知平面向量 滿足 ，且 與 的夾角為120°，求| |的取值范圍.

3、已知 ， 是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足（ ﹣ ）·（ ﹣ ）=0，求| |的最大值

4.已知向量 ≠ ，| |=1，對任意t∈R，恒有| -t |≥| - |，求證 ⊥（ - ）

答案：

1、解：|x||b|=|x|（xe1+ye2）2=|x|x2+y2+3xy=1x2+y2+3xyx2=1yx2+3yx+1=1yx?3 22+14，所以|x||b|的最大值為2

2、解：令用 = 、 = ，如圖所示：

則由 = ，

又∵ 與 的夾角為120°，

∴∠ABC=60°

又由AC=

由正弦定理 得：| |= ≤ ∴| |∈（0， ]

故| |的取值范圍是（0， ]

3、解：.∵ ，

∵ ，

∴ ，∵cosθ∈[﹣1，1]，

∴ 的最大值是 .

說明本題也可以利用數形結合求解， ， 對應的點A，B在圓x2+y2=1上， 對應的點C在圓x2+y2=2上即可.

4、證明：由 -t |≥| - |得 ，

即， ， 即 ，

所以 ， ，即 （ - ）=0， ⊥（ - ）。