運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決物理問題

羅明華

建模思想廣泛應(yīng)用于物理教學(xué)，特別是一些習(xí)題的處理上，我們經(jīng)常會根據(jù)題目思想建立物理模型，然后結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決物理問題。其中極值問題在物理教學(xué)中是常見的一類問題，對于此類問題，如果能把一些數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到物理中去，處理此類問題往往能達(dá)到事半功倍的效果。

在求解極值過程中實際物理過程與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的作用，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，求解數(shù)學(xué)極值，從而轉(zhuǎn)化為物理問題的極值。數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象的過程，對物理規(guī)律或物理概念的描述提供了最簡潔、最準(zhǔn)確的表達(dá)方式，而且在內(nèi)容上能表述得深刻、精確、簡捷。

求解數(shù)學(xué)極值問題，中學(xué)物理通常涉及到的主要數(shù)學(xué)知識有：點(diǎn)到直線的距離最短、基本不等式法、二次函數(shù)求極值的方法、三角函數(shù)的知識等。下面本人來談?wù)剬?shù)學(xué)如何結(jié)合到物理問題中去。解題思路如下：

物理問題→建立物理模型→結(jié)合數(shù)學(xué)模型→推理演算數(shù)學(xué)模型→得出物理問題的解

一、點(diǎn)到直線的距離最短與物理問題的結(jié)合

有關(guān)涉及位移、速度、加速度、力等矢量的問題，可運(yùn)用矢量合成與分解的平行四邊形定則建立由表示已知量與未知量的矢量構(gòu)成的矢量三角形，運(yùn)用三角形的知識進(jìn)行求解與分析。

例1：如圖1所示，用細(xì)繩懸AB吊一質(zhì)量為m的物體，現(xiàn)在AB中的某點(diǎn)O處再結(jié)一細(xì)繩用力F拉細(xì)繩，使細(xì)繩的AO部分偏離豎直方向的夾角為θ后保持不動，則F的最小值是多少？

分析與求解：以O(shè)點(diǎn)為研究對象，則它在AO繩的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三個力的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，這三個力相互平衡。這樣，表示這三個力的矢量，首尾相接應(yīng)該組成一個封閉三角形。由于繩BO對O點(diǎn)的拉力FBO=mg恒定不變，繩AO對O點(diǎn)的拉力方向不變。所以，當(dāng)F方向變化時，由圖1可以看出，當(dāng)F方向與AO垂直時，F(xiàn)最小，F(xiàn)=mgsinθ

二、均值不等式在解決物理問題中的應(yīng)用

所謂不等式模型，就是根據(jù)題意或解題要求，就所求量和題中已知量建立起不等關(guān)系式，通過不等式的求解和分析，完成物理問題的求解。

如果a，b為正數(shù)，那么有： ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式取“=”號。推論：①兩個正數(shù)的積一定時，兩數(shù)相等時，其和最小。②兩個正數(shù)的和一定時，兩數(shù)相等時，其積最大。

例2：在電視節(jié)目中我們常常能看到一種精彩的水上運(yùn)動——滑水板，如圖2所示.運(yùn)動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的.若運(yùn)動員與滑板的總質(zhì)量為m=70 kg，滑板的總面積為S=0.12 m2，水的密度為ρ=1.0×103 kg/m3.理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為θ時，水對板的作用力大小為N=ρSv2sin2θ，方向垂直于板面.式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積，求為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。

解析：選取滑板和運(yùn)動員作為研究對象，對其受力分析如圖3所示，滑板和運(yùn)動員共受三個力的作用，即：重力G，水對滑板的彈力FN（方向與滑板板面垂直）及繩子對運(yùn)動員的拉力F。

由物體的平衡條件可得： ，

又由題中所給的理論模型： ，

可得： 由式中可知：快艇的最小速度只由θ決定。

令 ，則有：

由基本不等式可得：

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，y有最大值： 。快艇最小速度的表達(dá)式為： 代入數(shù)據(jù)，得：

三、利用二次函數(shù)規(guī)律求物理極值的問題

把二次函數(shù)y=ax2+bx+c配方得 ，若a>0，則當(dāng) 時，y有極小值： ；若a<0時，則當(dāng)當(dāng) 時，y有極大值： 。如果一個物理問題能建立y=ax2+bx+c的數(shù)學(xué)模型，就可以用上述方法求出其極值。

例3：如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質(zhì)彈簧及長度可調(diào)節(jié)的豎直管AB.細(xì)管下端接有一小段長度不計的圓滑彎管，上端B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動小球?qū)椈蓧嚎s到同一位置后鎖定。解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進(jìn)細(xì)管A端，再沿管ABC從C端水平射出。已知彎管BC的半徑R=0.30m，小球的質(zhì)量為m=50g，當(dāng)調(diào)節(jié)豎直細(xì)管AB的長度L至L0=0.90m時，發(fā)現(xiàn)小球恰好能過管口C端。不計小球運(yùn)動過程中的機(jī)械能損失。

（1）求每次彈射時彈簧對小球所做的功W；

（2）當(dāng)L取多大時，小球落至水平面的位置離直管AB最遠(yuǎn)？

（1）當(dāng)L0=0.9.m時，小球恰好能過管口C端，則VC=0，

根據(jù)A到C應(yīng)用動能定理：W-mg（L0+R）=0，則W=mg（L0+R）=0.6J

（2）調(diào)節(jié)L到某值時，離開C點(diǎn)的速度為VC，到水平而與AB最遠(yuǎn)。

根據(jù)A到C應(yīng)用動能定理得：W-mg（L+R）=1/2mVC2

設(shè)小球水平拋出距離為X，則X=Vct，R+L=1/2gt2

解出 的表達(dá)式。

再根據(jù)數(shù)學(xué)拋物線的方程公式，當(dāng)L=-b/2a時，X取得最大值，得出當(dāng)L=0.3m時，X取得最大值。最后結(jié)果為X+0.3，因為X為C點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離，落地點(diǎn)到AB的距離還要再加R。