數學思想在高中數學教學中的滲透與應用

彭燕梅

摘 要：數學教學是教授基礎知識和滲透數學思想的教學，數學思想的形成和應用對于學生理解、學習、應用基礎知識具有非常重要的作用。本文對“分類討論思想”“數形結合思想”“轉化化歸思想”三種數學思想的教學展開分析，從實際教學案例中探究這些思想滲透和應用的方法，旨在為一線數學教師提供些許參考意見。

關鍵詞：數學思想；高中數學；有效滲透

在數學的教學過程中，培養學生形成良好的數學思想及其應用能力是非常有必要的。數學思想的養成，可以有效幫助學生形成良好的認知結構，促進知識的深化和轉化，培養數學素養，對認識、分析和解決數學問題大有裨益。但在現實教學中，許多教師只是注重基礎知識的教授和解題步驟的練習，忽視了數學思想的重要性。數學教師要充分備課，設計具有層次性的教學內容和環節，幫助學生潛移默化中學到數學思想，提高運用數學知識和思想解決實際問題的能力，提高數學的學習效率。

一、滲透分類討論思想，培養學生形成清晰的思路

分類討論思想是數學學習中經常會用到的一種思想，它雖然基礎但卻十分重要，能夠幫助學生將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，將思路清晰化。對于一些情況多變的問題，可借助分類討論思想在題目相關條件的規定中進行區域的劃分，并針對所有的區域依次討論。此外，分類討論思想還有助于學生整理和歸納繁多的知識點，避免形成片面的思維。

例如，針對一些帶有絕對值的函數，就能將復雜的函數變成幾個簡單的函數，轉化為分段函數再分類討論，復雜的問題就變得簡單許多。在問題“作出函數f（x）=|x-3|+|x+1|的圖象”中，首先要將函數中的絕對值去掉，那么就可以按照函數的零點進行分區間討論。y=|x+1|的零點是x=-1，y=|x-3|的零點是x=3，這樣學生就可以通過x -1、-1

二、滲透數形結合思想，培養學生對問題的理解能力

數學問題將實際生活中提煉出來的數學信息表示成抽象的數學關系，其抽象性使得學生理解知識和問題的難度變高，如果能夠將知識和問題中的數學關系用圖形表示出來，會更加直觀，減小學習難度。這就需要用到數形結合思想，即把“數”和“形”結合起來思考問題并解決問題。所謂的“數”即數學問題中的數字或數量關系等，“形”指的是圖形，其表現方式可以是數軸、圖象等。

例如，解決解析幾何的問題時，應用數形結合往往能夠快速分析問題、找準變量關系。在問題“有向線段PQ的起點P與終點Q坐標分別為P（-1，1），Q（2，2）。若直線l：x+ay+a=0（a為實數）與有向線段PQ延長相交，請求實數a的取值范圍”中，抽象的想象會增加解題難度，那么教師在教學中就可以將題目給出的信息用圖象的形式展示在黑板上。不難發現直線l恒過定點M（0，-1），且其斜率隨著a的變化而變化。教師可畫出不同斜率的情況，在直線的旋轉過程中引導學生發現其中的特征，從而找到斜率的范圍，進而解出a的取值范圍。

三、滲透轉化化歸思想，培養學生靈活應用的能力

轉化化歸思想的應用較為靈活，但其解決問題的能力非常強大。它能把陌生的問題轉化為熟悉的問題，將未知的問題轉化到學生已知的知識范圍內，便于學生運用熟知的知識、方法、經驗解決問題。

例如，在解決復雜的函數問題“已知x，y∈R，且2x+3y>2-y+3-x，判斷x+y與0的關系”時，因為不等式兩邊都含有x和y兩個變量，是二元函數，而學生熟悉的是一元函數，因此教師可以引導學生思考如何才能將兩個變量變成一個。進而得出可以構造輔助函數f（x）=2x-3-x，將二元不等式的問題轉化為求函數單調性的問題的結論，將復雜的問題轉化為熟悉的知識，降低難度。再如，解決立體幾何問題“一個四面體所有棱長都是a，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為____”時，不難看出該四面體是一個正四面體，如果利用外接球直接構造直角三角形去求解的話，其計算量大，思維過程冗長，學生很容易出錯。教師可以趁機滲透轉化化歸思想，即將正四面體補成一個正方體，利用棱長之間的關系，從而找到其外接球的半徑，進而得到結果。這樣的轉化過程使得思維量和計算量都小了很多，能夠培養學生靈活應用已學到的知識的能力。

總之，數學思想雖然是抽象的，但它與數學知識的學習密切相關，貫穿整個數學學習過程，是數學學習的精髓。除了上述三種思想，還要很多數學思想，如類比思想、方程與函數思想等。教師要不斷總結教學經驗，并與具體學情相結合，將這些思想設計在教學內容中，使學生在潛移默化中逐步獲得基礎的數學知識、思想、技能，從而達到培養學生靈活應用數學知識解決實際數學問題的目的。

參考文獻

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