一類具有時(shí)滯的微分方程穩(wěn)定性分析

摘 要：本文考慮了一個(gè)具有時(shí)滯的微分差分方程，利用線性化方法來研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.

關(guān)鍵詞：時(shí)滯;線性化;Hopf分支

1 引言

人們最初利用常微分方程在各個(gè)學(xué)科研究領(lǐng)域中刻畫實(shí)際生活的系統(tǒng)模型，但隨著數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)的深入研究，自從1771年Condorcet推導(dǎo)出了數(shù)學(xué)歷史上的第一個(gè)時(shí)滯微分方程以來[1-3]. 例如帶時(shí)滯的Logistic生物系統(tǒng)模型、種群動(dòng)力學(xué)、傳染病動(dòng)力學(xué). 時(shí)滯微分方程也叫泛函微分方程，Ruan和Wei在文獻(xiàn)給出了超越方程根分布的特點(diǎn).

時(shí)滯微分方程的分支理論在動(dòng)力系統(tǒng)研究中具有很重要的意義，分支現(xiàn)象不僅在理論中研究，它也廣泛地存在于自然界和人類的生產(chǎn)生活中，并且已經(jīng)被各個(gè)領(lǐng)域的學(xué)者們廣泛的研究及應(yīng)用. 本文研究如下形式的時(shí)滯微分方程初值問題

本文將利用文獻(xiàn)[4]中的方法研究具有初值條件的模型（1）的穩(wěn)定性現(xiàn)象.

2 平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和Hopf分岔

將方程（1）在處線性化，系統(tǒng)（1）可以寫成下面線性自治齊次的時(shí)滯微分方程的初值問題

2.1? 平衡點(diǎn)的絕對(duì)穩(wěn)定

這一節(jié)主要分析系統(tǒng)（2）平衡點(diǎn)的絕對(duì)穩(wěn)定. 令 時(shí)，則

即 是系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn).

將代入（2）得

如果方程（3）的所有根都有負(fù)的實(shí)部，那么系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的. 如果方程（3）有一個(gè)根具有正的實(shí)部，那么系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

如果，那么方程（3）簡(jiǎn)化為

定理2.1 ，則系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

下面分析時(shí)滯，系統(tǒng)（2）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響，假設(shè)特征方程（3）有一對(duì)純虛根，將其代入特征方程（3）得

方程（5）的實(shí)部和虛部分離，可得

把方程（6）兩邊的平方和相加，可得下面的方程

于是方程（7）有唯一的正根

2.2? ?單次穩(wěn)定性切換

從方程（6）可得相應(yīng)于的的值為

設(shè)是當(dāng)附近變化時(shí)特征方程（4）的共軛復(fù)根，滿足下面的橫截性條件成立

引理2.2假設(shè)條件（H1）成立，由（8）定義且由（9）給出，則

證明? 將特征方程（3）兩邊對(duì)微分，可以得到

注意到當(dāng)時(shí)，，則

于是

證明完畢.

由引理2.2，可陳述下面的系統(tǒng)（3）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的結(jié)論.

定理2.3 方程（9）定義了且方程（10）定義了.

（1）如果，則系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

（2）如果，則系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

（3）如果，則系統(tǒng)（3）在平衡點(diǎn)處出現(xiàn)Hopf分支.

3 結(jié)論

本文研究時(shí)滯微分方程，首先考慮系統(tǒng)ODE模型的穩(wěn)定性，通過分析系統(tǒng)線性化方程中特征方程的根的分布;其次分析了一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性和單次穩(wěn)定性切換，最后得到了相關(guān)的一些具體結(jié)果. 結(jié)果表明當(dāng)系統(tǒng)中的時(shí)滯在臨界值時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)Hopf分支.

參考文獻(xiàn)

[1]鄭祖庥. 泛函微分理論[M]. 安徽教育出版社，1994.

[2]魏俊杰，黃啟昌. 泛函微分方程分支理論發(fā)展概況[J].科學(xué)通報(bào)，1997（24）：2581-2586.

[3] 魏俊杰，王洪濱，蔣衛(wèi)華. 時(shí)滯微分方程的分支理論及應(yīng)用[M].北京科學(xué)出版社，2012.

[4]Yan X，Shi J. Stability Switches in a Logistic Population Model with Mixed Instantaneous and Delayed Density Dependence[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations，2017，29（1）：113-130.

作者簡(jiǎn)介：

楊曉燕（1994-），女，山西朔州人，碩士研究生，主要從事非線性微分方程的動(dòng)力學(xué)研究.