投資的收益和風險的優化研究

彭紅

摘要：本文建立了投資的收益與風險的投資組合方案，使凈收益盡可能大，且總體風險盡可能小。1 風險越大，收益越大。2 當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題義一致。即，冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。

關鍵詞：投資；收益與風險

1 問題的提出

現在我們有一定的資金，想在市場中進行投資，投資每個項目有一定的的收益和風險，怎么計劃我們的投資使我們得到最大的收益，而使我們所經歷的風險最小是一個值得討論的問題。

市場上有n中資產S （i=1，2，……，n）可以選擇作為投資項目，現用數額為M的相當大的資金作一個時期的投資。這n中資產在這一時期內購買S 的平均收益率為r ，風險損失率為q ，投資越分散，總的風險越小，總體風險可以用投資的S 中最大的一個風險來度量。

購買S 時要付交易費（費率p ），當購買額不超過給定值u 時，交易費按購買u 計算。另外，假設同期銀行存款利率是r （ r =0.005），即無交易費又無風險。

試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇的購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，且總體風險盡可能小。

2 基本假設

1 投資數額相當大，為了方便計算，假設M=1；2 投資越分散，總的風險越小；3 總體風險用投資項目S 中最大的一個風險來度量； 4 n中資產S 之間是相互獨立的； 5 在投資這一個時期內，r ，q ，p ，r 為定值，不受以為因素影響；

6 凈收益和總體風險只受r ，q ，p 影響，不受其他因素干擾。

3 符號設定

S ——第 i中投資項目，如股票，債券

r ，q ，p ——分別為S 的平均收益率，風險損失率，交易費率

u ——S 的交易定額 r ——同期銀行利率

x ——投資項目S 的資金 ——總體收益的增量

Q——總體收益

4 模型分析與模型建立

1 總體風險用所投資的S 中的最大一個風險來衡量，即max{q x |i=1，2， …，n}.

2 購買S 所付交易費是一個分段函數，即

交易費= ，

而問題所給定的定值u （單位：元）相對投資M很小，p u 更小，可以忽略不計，這樣購買的凈收益為（r —p ）x 。

3 要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小，這是一個多目標規劃模型：

目標函數： max

in{max{ }}

約束條件 x >=0， i=1，2， …，n

4 模型簡化：

a. 在實際投資中，投資者承受風險的程度不同，若給定一個界限a，使最大的一個風險q x /M<=a ，可找到相應的投資方案。這樣把多目標規劃變成一個目標的線形規劃。

模型1 ：固定風險水平，優化收益

目標函數：Q=max 約束條件：

， x >=0， i=1，2， …，n

b. 若投資者希望總盈利至少達到水平以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。

模型2 固定盈利水平，極小化風險

目標函數：R=min{max{ }}

約束條件： ， x >=0， i=1，2， …，n

c.投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合，因此對風險收益賦予權重，稱為投資偏好系數。

模型3 引進權重

目標函數：min S{max{ }}-----（1---S）

約束條件： x >=0， i=1，2， …，n

5 模型的求解

我們給出一些數據，按照模型1進行求解，數據如下：

6 結果分析

由計算結果和圖可得到以下結論：1 風險越大，收益越大。2 當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題義一致。即，冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。

參考文獻：

[1]運籌學教程.胡運權.北京：清華大學出版社，1995

[2]數學模型.姜起源 謝金星.高等教育出版社2003

[3]數學建模.徐全智 楊晉浩.高等教育出版社2003.7

[4]數學建模及試驗.王冬琳.國防工業出版社2004.5E547B914-5544-40F2-B110-3C9BEBD0CE74