用擴展的(G

廖干杰 黃李韋 陳弦 郭艷鳳

摘? ?要：利用擴展的[（G'/G）] 法和新的輔助方程，借助齊次平衡原理，得到了（2+1）維破裂孤子方程的一些新精確解并給出了解的相應數值模擬圖像.

關鍵詞： 破裂孤子方程; 齊次平衡; 精確解; [（G'/G）]展開法

中圖分類號：O175.29? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45‐1395/t.2019.01.017

0? ? 引言

隨著科學的發展，非線性問題在科學與技術領域的作用越來越重要，也越來越受到人們的關注，在物理學、力學等多方面都會涉及到許多非線性問題.一般而言，非線性問題可以用非線性偏微分方程來描述.那么，如何求解非線性偏微分方程對研究非線性問題具有至關重要的意義.

3? ? 結論

本文通過文獻[13]擴展的[（G'/G）]展開法，求解（2+1）維破裂孤子方程的新精確解，把此方程的解的形式擴充到[（d+G'/G）]的負指數冪，并對文獻[13]中解的系數作了改變，使解的形式沒有出現系數為[fN（N=]0，±1，±2，…，±n）的情況，得到了此方程更加豐富的精確解.這里擴展的[（G'/G）]方法主要是把[（G'/G）]的指數冪擴展到[（d+G'/G）]正負指數冪，借助新的輔助方程（2），通過maple軟件求解待定常數表達式的方程組，確定待定常數的關系，當系數A、B、C、E滿足式（8）—式（12）的關系時，得到了（2+1）維破裂孤子方程精確解的一些形式，其中包括雙曲函數解、有理分式解和三角函數解等形式.解的圖像有三角函數解[u12（ζ）]的圖像（見圖1），有理分式解[u23（ζ）]的圖像（見圖2），雙曲函數解[u34（ζ）]的圖像（見圖3）.因為三角函數具有周期性，所以[u12（ζ）]的圖像具有周期性，當[ζ]的取值使得[u12（ζ）]函數表達式的分母趨于零時，解的圖像則出現尖端.[u23（ζ）]的圖像則因為解的表達式的分母趨于零，而使解的圖像出現尖端.[u34（ζ）]的圖像則為孤立波形狀的圖像，雙曲函數是一種類似于三角函數的函數，函數分母取值趨于零時，則圖像會出現極端值.并且此類方法還可以應用于求解其它非線性偏微分方程的精確解.

參考文獻

[1]? ? 傅海明，戴正德.（2+1）維廣義KdV方程的周期孤波解[J].平頂山學院學報，2013，28（5）：35-38.

[2]? ? 劉建國，曾志芳.變系數Sine-Gordon 方程的B?cklund 變換和新的精確解[J]. 系統科學與數學，2014， 34（6）：763-768.

[3]? ? 傅海明，戴正德.（2+1）維Nizhnik-Novikov方程的周期孤波解[J].江蘇師范學報（自然科學版），2016，34（2）：33-36.

[4]? ? KONGL Q，DAI C Q.Some discussions about variable separation of nonlinear models using Riccati equation expansion method[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 81（3）：1553-1561.

[5]? ? LYU X. New bilinear B?cklund transformation with multisoliton solutions for the （2+1）-dimensional Sawada-Kotera model[J].Nonlinear Dynamics， 2014， 76（1）： 161-168.

[6]? ? 魏帥帥，李凱輝，劉漢澤. [（G'/G）]展開法在Riccati方程中的應用[J]. 河南科技大學學報（自然科學版），2015，36（5）：92-96.

[7]? ? 傅海明，戴正德. 新輔助函數法及（2+1）維Burgers方程的精確解[J]. 江蘇師范大學學報（自然科學版），2015，33（4）： 25-30.

[8]? ? 熊維玲，甘樺源.（3+1）維Jimbo-Miwa方程的非行波解[J]. 廣西科技大學學報，2017，28（1）：12-18.

[9]? ? 施業瓊.（2+1）維Davey-Stewatson II方程的精確解[J]. 廣西科技大學學報，2015，26（1）：96-102.

[10]? CALOGERO F，DEGASPERIS A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform[J]. II Nuovo Cimento della Società italiana di Fisica-B： General Physics，1977，39（1）： 1-54.

[11]? ZHANG J F，MENG J P. New localized coherent structures to the（2+1）-dimensional breaking soliton equation[J]. Physics Letters A，2004，321（1）：173-178.

[12]? ZHANG S.A generalized new auxiliary equation method and its application to the（2+1）-dimensional breaking soliton equations[J].Applied Mathematics and Computation，2007，190（1）：510-516.

[13]? HASIBUN N，FARAH A A. New generalized and improved [（G'/G）]-expansion method for nonlinear evolution equations in mathematical physics[J]. Journal of the Egyptian Mathematical Society，2014，22（3）：390-395.