一種優化MIMO雷達波形設計的算法

李 旭，安 濤，劉金鵬

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

多輸入多輸出(MIMO)雷達正交波形既要求雷達波形信號之間低的互相關性，又要求雷達信號具有低的自相關旁瓣。通過合理的算法優化雷達發射波形，使其具有優異的自相關和互相關特性，這樣的雷達信號能夠更方便地對其進行脈沖壓縮，從而更好地從雷達目標回波中提取獨立的速度、距離、方位等目標信息。此外，因為MIMO雷達正交信號間互相關性低，所以在不同發射方向上的功率增益遠小于相同發射功率下其在波束指向上的功率增益，因此降低了雷達信號被敵方交叉定位的概率，從而提高了雷達的戰場生存能力[1]。本文將對MIMO雷達相位編碼信號的正交波形設計算法展開研究。

1 MIMO雷達相位編碼信號模型

MIMO雷達探測目標時需要發射正交信號。為了提高雷達的探測距離和探測精度，要求MIMO雷達單個發射單元發射信號的自相關函數旁瓣盡可能低；同時多個發射單元發射信號間互相關電平[2-3]盡可能低，從而能夠有效降低多目標回波間的相互干擾。

相位編碼脈沖信號是雷達常用的信號形式之一，該信號通過非線性相位調制使得其相位變為離散的有限序列，因此相位編碼信號是一種離散脈沖編碼信號[3]。相位編碼信號與線性調頻(LFM)信號類似，大量的子脈沖構成相位編碼的脈沖波形，且每個子脈沖具有相同的持續時間，相鄰的子脈沖之間存在著相位差，如果相位差為0或π，那么形成的就是二相編碼脈沖波形；如果相鄰子脈沖的相位差存在2個以上的不同值，則形成多相編碼脈沖波形。

假定MIMO雷達系統包含L個發射單元，每個發射單元發送相位編碼信號的碼元長度為N。則該相位編碼信號的數學表達式為：

X={xl(n)=ejφl(n)}

(1)

式中：n=1，2，…，N；l=1，2，…，L；xl為第l個單元發射的信號；φl(n)為第l個單元發射信號的第n個碼元對應的相位。

令相位編碼信號的總相位數為M，則該信號的相位包含于集合(2)：

(2)

信號xp和xq的相關函數定義為：

(3)

式中：*表示復共軛。

2 基于CAN算法的相位編碼信號設計

雷達系統中，自相關函數旁瓣較低的雷達信號有利于檢測到弱目標，互相關性低的信號可以減少其它無用信號的干擾[4]。低自相關函數旁瓣的相位編碼信號需要通過專門的算法優化才能實現。發射具有低自相關旁瓣信號，并且與匹配濾波器相連時，可以明顯提高雷達系統的信噪比。

減小信號自相關函數的旁瓣即使{r(k)}k≠0最小，積分旁瓣電平(ISL)的定義如下：

(4)

我們的目標是設計高效的算法將ISL最小化，ISL指標最小等價于代價因子(MF)最大，ISL與MF的關系式如下：

(5)

ISL與MF關系式的推廣被稱為最小權重(WISL)和最大代價因子(MMF)，其中：

(6)

(7)

這種最小權重公式對于減少確定的多徑干擾和離散雜波十分重要。

下面介紹用于減小ISL的循環算法：CAN算法。

CAN算法的推導包含幾個步驟，首先已知ISL的頻域表達式為：

(8)

式中：ω∈[0，2π]。

另外，由帕塞瓦爾定理式知式(4)等價于：

(9)

{ωp}應滿足以下條件：

(10)

通過實驗研究發現CAN算法可以減小信號的ISL指標。CAN算法是基于快速傅里葉變換(FFT)的操作，可以運用在N高達106甚至更大的序列中。

CAN算法的實現步驟如下：

(4) 不斷地迭代步驟(2)、(3)，直到滿足預設的一個停止標準。比如設置‖x(i)-x(i+1)‖<ε，其中x(i)是序列進行第i次迭代后的值，ε是預先設定的停止閾值，比如ε=10-3等。

圖1(a)是未經CAN算法優化的原始相位編碼信號的自相關函數仿真結果，(b)是經過CAN算法優化后相位編碼信號的自相關函數仿真結果。通過對比可知，經CAN算法優化后的旁瓣值明顯降低10 dB。上面描述的CAN算法存在一個限制條件，即序列{x(n)}是單位彈性模量，也就是說它的峰值與平均功率的比值是1。如果該比值大于1的話，則會更好地抑制相關函數旁瓣。通過CAN算法優化后的相位編碼(PC)信號可以有效提高雷達的探測性能，并且可以增強雷達信號的通用性。

圖1 相位編碼信號CAN算法優化前后效果對比圖

3 基于Multi-CAN算法的MIMO雷達相位編碼信號設計

CAN算法是針對單一序列提高其自相關函數性能的算法，但是對于MIMO雷達發射的多通道正交波形，由于信號的多普勒敏感特性[6]，需要對波形的互相關性進行設計研究。好的自相關性能表明該波形與其經時間延遲后的波形是不相關的，而好的互相關則是任何一個具有時間延遲的波形基本上與其它波形不相關。低互相關特性可以減小多路徑干擾以及雜波干擾的危險。針對MIMO雷達的特點，提出了高效率的能降低編碼互相關旁瓣的Multi-CAN算法。

Multi-CAN算法的主要目的是減小式(12)中ε的值：

(11)

為了方便討論，將發射波形的矩陣定義為：

X=[x1x2…xM]N×M

(12)

其中第m個波形：

xm=[xm(1)xm(2) …xm(N)]T

(13)

不同延遲條件下波形協方差矩陣的表達式如下：

n=-N+1，…，0，…，N-1

(14)

通過下面的轉移矩陣：

(15)

式(15)可以變換為：

(16)

通過以上變換，式(12)可以被改寫成：

(17)

根據帕瑟瓦爾定理得：

(18)

其中：

(19)

(20)

其中：

(21)

y(n)=[x1(n)x2(n) …xM(n)]T

(22)

通過式(18)和式(20)，式(17)可以變換為：

(23)

(24)

(25)

(26)

{xm(n)}=exp(jarg(dnm))

(27)

式中：m=1，…，M；n=1，…，N；dnm為AV中位于(n，m)處的元素。

因此，Multi-CAN算法的實現步驟如下：

(1) 用已經存在的擁有良好性能的序列或者隨機產生的M×N序列來初始化M；

(4) 不斷重復步驟(2)、(3)直到滿足預設閥值條件。比如設置|x(i)-x(i+1)‖<10-3，其中x(i)是序列進行第i次迭代后的值。

我們用Multi-CAN算法設計四組正交波形，碼長為103，圖2為4個信號歸一化后自相關的幅值，圖3是4個信號兩兩互相關的歸一化幅值。可以看出，經過Multi-CAN算法以后，4個信號的自相關函數主峰很大、旁瓣很低，并且互相關函數沒有主峰，說明Multi-CAN算法優化后組合信號間基本沒有相關性。

圖2 4個信號的自相關性

圖3 4個信號兩兩互相關性

4 結束語

MIMO雷達在體制上的巨大優勢決定了其廣闊的應用前景[7]，本文研究了同時優化MIMO雷達相位編碼信號自相關與互相關性的方法。CAN算法是針對單一序列提高其自相關函數性能的算法，針對MIMO雷達的特點，提出了高效率的能降低編碼互相關旁瓣的Multi-CAN算法。