基于誤差修正的GM(1,1)導航衛星鐘差預報算法

牛樹華，于 燁，黃 默，周智勇

(1.海軍裝備部裝備裝備審價中心，北京 100040；2.中國科學院微電子研究所，北京 100029； 3.中國科學院大學，北京 100049)

0 引 言

在全球衛星導航系統(GNSS)之中，星載原子鐘的鐘差是定位、導航和授時(PNT)的主要誤差源之一。目前，國際IGS(International GNSS Service)數據分析中心發布的事后精密衛星鐘差產品的精度小于0.1 ns，可以實現厘米級的精密單點定位(PPP)的需求，但是該產品需要在13天之后才能獲取，不能滿足用戶對實時性的需求。因此，獲得高精度、實時性好的衛星鐘差產品對于實現PPP顯得極為重要[1-3]。所以，如何去提高衛星鐘差預報的精度和準確度一直都是GNSS中一個熱點問題之一。

近些年來，國內外許多學者對衛星鐘差預報進行了多角度和多方位的研究，提出了多種衛星鐘差預報的方法。主要有：二次多項式模型(QPM)、灰色模型(GM (1,1))、卡爾曼濾波模型(KF)、自回歸模型(AR(p))、自回歸滑動平均模型(ARMA)、人工神經網絡(ANN)模型、泛函網絡模型和支持向量機(SVM)模型等[4-15]。這些預報方法分別適用于不同情況下導航衛星星載原子鐘鐘差的短期、中長期和長期的預報，但也均有各自的適用范圍和局限性。例如：灰色模型適合處理數據量少、樣本小、信息不全的不確定性問題，計算簡便，抗干擾能力強[16]。但是，研究者們在應用灰色模型預報衛星鐘差時，沒有考慮到灰色模型在建立模型預報衛星鐘差時的模型殘差，致使灰色模型的預報精度不高。

本文針對灰色模型在預報衛星鐘差時精度的不足，提出了應用二次多項式模型去修正灰色模型建模殘差的衛星鐘差預報算法。該算法首先采用灰色模型對衛星鐘差進行建模，在建模的過程中會產生模型殘差，然后對模型殘差應用二次多項式模型進行建模，之后再進行預報。最后將灰色模型預報的結果與模型殘差預報的結果對應相加即得到衛星鐘差的最終預報值。同時，將該誤差修正后的灰色模型應用到了衛星鐘差預報之中，從預報試驗結果的對比分析，驗證了該修正方法的有效性和優越性。

1 GM(1，1)預報模型

設有1組衛星鐘差序列：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，對這組衛星鐘差序列進行一次累加操作處理[17]，生成1組新的數據序列X(1)：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

對生成的這組新的數據序列X(1)建立如下的一階微分方程模型：

(2)

式中：系數a稱為灰色模型的發展系數；系數u稱為灰色模型的灰作用量。

對式(2)進行離散化操作處理，可得到如下的矩陣方程：

(3)

根據最小二乘法可得到上式矩陣方程的最小二乘解為：

(4)

將式(4)代入式(2)得：

(5)

求解時間響應函數式(5)的解為：

k=1,2,…,n-1

(6)

由于數據序列X(1)是衛星鐘差序列X(0)的累加序列，所以衛星鐘差序列X(0)的預報模型為：

(7)

式中：k=1，2，…，n-1。

更一般的形式為：

(8)

式中：j為參與建模的衛星鐘差的個數，j=1，2，…，n；p為預報的點數，p=1，2，…，m。

2 誤差修正的GM(1,1)預報模型的構建

結合式(3)和式(4)可知，灰色模型在建模的過程中會產生如下的模型殘差：

(9)

為了減小灰色模型的建模誤差，這里使用如下的方法對灰色模型的建模誤差進行修正。對灰色模型的模型殘差e={e1,e2,…,en}建立如下的模型，然后進行預報：

e=rt2+s

(10)

由最小二乘法可得如下的矩陣方程：

(11)

由式(10)和式(11)，即可得到灰色模型的模型殘差的預報模型為：

(12)

結合式(8)和式(12)，即可得到誤差修正后的灰色模型的最終預報模型為：

(13)

由以上預報模型即可對未來任意時刻的衛星鐘差進行預報。

3 試驗與分析

3.1 試驗數據來源

為了驗證本文算法的有效性和可行性，從國際IGS服務器(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov)上下載了2018年5月6日00:00至2018年5月7日12:00共36 h的IGS事后精密衛星鐘差產品進行預報試驗，其采樣間隔為15 min，即1 h記錄4個歷元的衛星鐘差。考慮到目前在軌的GPS衛星有31顆，且有29顆衛星搭載的是銣原子鐘，所以隨機選取了3顆搭載銣原子鐘衛星的衛星鐘差進行預報試驗。它們分別是PRN02、PRN22和PRN32號衛星，截止2019年5月10日，它們的相關信息如表1所示。

表1 選擇的衛星相關信息

3.2 預報方案與結果分析

本試驗采用12 h的衛星鐘差，即：2018年5月6日00∶00至5月6日12∶00，共計49個歷元分別去建立二次多項式模型(QPM)、灰色模型(GM(1,1))和誤差修正的灰色模型(修正GM(1,1))。然后用建立好的模型去預報未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差，即預報歷元的步長為24、47、72和96個，將接下來6 h、12 h、18 h和24 h的實際觀測衛星鐘差與各模型預報的衛星鐘差相減就得到了預報誤差。因為國際IGS服務器上發布的為事后衛星鐘差產品，其自身誤差小于0.1 ns，所以，可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)(其計算公式見式(14))和最大誤差與最小誤差之差的絕對值，即極差Range(其計算公式見式(15))作為評價預報結果的統計量，去檢驗QPM、GM(1,1)和修正GM(1,1)模型所預報結果的好壞程度。其中RMS表征了預報結果的精度，Range表征了算法的穩定性[18]。

(14)

(15)

圖1～圖3和表2分別給出了QPM、GM(1,1)和修正GM(1,1)模型預報誤差的變化情況和預報誤差的統計特性。

結合圖1～圖3和分析表2可知：

圖1 PRN02號衛星6 h、12 h、18 h和24 h的預報誤差

圖2 PRN22號衛星6 h、12 h、18 h和24 h的預報誤差

圖3 PRN32號衛星6 h、12 h、18 h和24 h的預報誤差

(1) 在建立衛星鐘差模型中，應用二次多項式模型時，其預報誤差呈快速上升趨勢。對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小均方根誤差分別為0.38 ns、1.06 ns、2.21 ns和3.29 ns。應用灰色模型時，其預報誤差也呈快速上升趨勢。對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小均方根誤差分別為0.28 ns、0.83 ns、1.78 ns和2.63 ns。而應用誤差修正的灰色模型時，其預報誤差呈緩慢上升趨勢。對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小均方根誤差分別為0.20 ns、0.37 ns、0.56 ns和1.05 ns。從以上分析可以看出，誤差修正的灰色模型算法的預報精度比二次多項式模型和灰色模型的預報精度都要好。

(2) 在建立衛星鐘差模型中，應用二次多項式模型時，對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小極差分別為0.88 ns、2.42 ns、4.55 ns和6.59 ns。應用灰色模型時，對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小極差分別為0.77 ns、1.60 ns、3.41 ns和4.50 ns。而應用誤差修正的灰色模型時，對于PRN02、PRN22和PRN32號衛星，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h衛星鐘差時，預報誤差的最小極差分別為0.34 ns、1.07 ns、1.37 ns和2.92 ns。從以上分析可以看出，誤差修正的灰色模型算法相比于二次多項式模型和灰色模型有更好的算法穩定性。

表2 衛星鐘差預報誤差統計結果 (單位：ns)

(3)應用二次多項式模型時，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差時的平均均方根誤差分別為1.39 ns、2.61 ns、4.49 ns和6.61 ns，平均極差分別為2.11 ns、4.42 ns、8.50 ns和12.63 ns；應用灰色模型時，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差時的平均均方根誤差分別為0.73 ns、1.25 ns、2.06 ns和2.88 ns，平均極差分別為1.32 ns、2.41 ns、3.99 ns和5.37 ns；而應用誤差修正的灰色模型時，預報未來6 h、12 h、18 h和24 h的衛星鐘差時的平均均方根誤差分別為0.23 ns、0.54 ns、1.12 ns和1.88 ns，平均極差分別為0.69 ns、1.57 ns、2.66 ns和4.40 ns，它相比于二次多項式模型的平均均方根誤差分別提高了83.50%、79.30%、75.10%和71.60%，平均極差分別提高了67.30%、64.50%、68.70%和65.20%；相比于灰色模型的平均均方根誤差分別提高了68.50%、56.80%、45.60%和34.70%，平均極差分別提高了47.70%、26.60%、33.30%和18.10%。

4 結束語

針對灰色模型在預報衛星鐘差時精度的不足，本文提出了應用二次多項式模型去修正灰色模型在建模過程中產生的模型殘差的衛星鐘差預報算法。該算法首先采用灰色模型對衛星鐘差進行建模，在建模的過程中會產生模型殘差，然后對模型殘差應用二次多項式模型進行建模，之后再進行預報。最后將灰色模型預報的結果與模型殘差預報的結果對應相加，即得到了衛星鐘差的最終預報值。這種模型殘差修正的方法把2種模型的預報優勢有機地結合起來，從而提高了灰色模型的預報性能，進一步提高了衛星鐘差的預報精度。經預報試驗分析，結果也表明了該修正方法的有效性和可行性，并且具有較好的算法穩定性，為衛星鐘差預報研究在實際的應用中提供了一種新的思路。