隨機變量數字特征的教學探析

任澤民 李慶玉 黎彬

【摘 要】隨機變量的數字特征是概率論與數理統計課程中重要的基礎內容，主要包括數學期望、方差、協方差和相關系數等。為了提高學生對此部分內容的學習效果，筆者梳理了部分在教學過程中使用的技巧，給出了學生難以理解的三組對照關系，主要包括：連續和離散、期望和方差、一維和高維等。這樣的對照有助于學生掌握相應知識點的連貫性。

【關鍵詞】概率論;隨機變量;數字特征;期望與方差

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0025-02

概率論是理工和財經專業的重要公共基礎課程，在學生的培養方案中具有重要的作用。不同的章節，學生對內容的理解程度不同。為此，許多教師在教學過程中提出了各種教學思考[1，2]。筆者以數字特征是表征隨機變量特性的重要依據為對象進行分析[3，4]。這些數字特征主要包括數學期望、數學方差、協方差和相關系數等。在課堂教學中，學生對此部分內容掌握不是很好，尤其是連續和多維的數字特征。針對此現狀，筆者將闡述課程中比較重要的三組對照關系，主要包括連續和離散、期望和方差、一維和高維。這三組對照關系有助于學生消化此部分內容。

2? ?隨機變量的數學期望和方差

隨機變量的期望是反映變量平均取值的一個量。方差是用來體現變量取值分散程度的一個量。在教學中發現，學生對期望的理解尚可，但對方差的掌握僅僅存在于表面。

為此，筆者重點論述期望和方差之間的關系。隨機變量與均值的偏離程度通常可以利用或來刻畫。方差可用這種偏離程度的均值表示，依據期望的意義其可以表示為。方差越小指代變量比較集中在均值附近，方差越大指代變量取值越分散。

從這個層面上看，隨機變量的方差本質上來源于數學期望。因而，期望的一些重要性質和計算公式在方差的計算中可以使用。故在教學過程中應提醒學生注意期望和方差彼此之間的概念聯系，如方差的計算公式的推導。

在這個推導中，用到了許多期望基本性質，主要有：①數學期望本質上是一個常數，而常數的數學期望是其本身，即;②隨機變量的常數倍的期望等于變量期望的常數倍，即;③隨機變量和的數學期望等于期望之和。方差的計算公式可簡記為方差等于平方的期望減期望的平方，其計算需借助期望，即需要首先算出本身的期望，同時計算出平方的期望。

例1 離散型隨機變量的分布律見表1，嘗試計算變量的方差。

解 按照上述的公式分別計算變量和的期望，而后計算出：

3? ?一維和高維隨機變量的數字特征

一維隨機變量數字特征在理解和直觀想象上相對比較容易。但學生對高維隨機變量數字特征的掌握相對比較難。為此，應完成一維到高維的完美過度。在討論高維變量每個分量的期望和方差時，方法與一維相似。除了討論期望和方差外，還需考察反映分量間聯系的數字特征，如隨機變量間的協方差和相關系數。

例2 已知函數為二維隨機變量的概率密度，計算期望、方差、協方差和相關系數等數字特征，并判斷兩個變量是否相互獨立。

4? ?結束語

在隨機變量數字特征這一章節中，各數字特征是相對獨立的概念，但又交織在一起。為了知識的貫通性，學生在學習過程應注重彼此間的聯系。本文給出了三組對照關系，希望可以幫助學生理解這部分的內容。

【參考文獻】

[1]馬學思，李明.《概率論與數理統計》的教學改革[J].統計與決策，2011（13）.

[2]鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數理統計課程的改革與實踐[J].大學數學，2004（1）.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，2018.

[4]吳翊，汪文浩，楊文強.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2016.

【作者簡介】

任澤民（1985～），男，漢族，山東棗莊人，博士，副教授，研究方向：計算數學與人工智能。