發現 發展 領悟

蔣麗娟

【摘 要】本文詳細記述了“平均變化率”一課的教學過程。這節課的設計遵循由特殊到一般、由抽象到具體的原則，通過觀察、發展、領悟這三個環節，讓數學課堂成為“3D模式數學課堂”。最后總結出“3D數學課堂”教學的操作要領，并指出在教學活動中要凸顯學生主體地位，以培養學生思維能力為核心，提升數學素養為目標。

【關鍵詞】教學過程;教學反思;3D數學課堂

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0053-02

1? ?基本情況

1.1? 授課對象

高二物地組合普通班學生，基礎較弱，但課堂氛圍較活躍，善于合作交流共同探究新知。

1.2? 教材分析

本節課是蘇教版高中數學選修2-2第一章《導數及其應用》第一節《導數的概念》中的1.1.1《平均變化率》問題。新課標的要求是：借助生活中常見的實例分析、觀察發現平均變化率，進而探究出瞬時變化率的過程，追尋導數概念的本質，明白瞬時變化率就是導數，領悟導數的思想及其內涵[1]。

1.3? 教學目標

借助生活中常見的實例分析、觀察發現平均變化率，進而探究出瞬時變化率的過程，追尋導數概念的本質，明白瞬時變化率就是導數，領悟導數的思想及其內涵，感悟用導數刻畫世界變化的精準與奇妙。

1.4? 教學重點

平均變化率的概念和意義。

1.5? 教學難點

從數學的角度描述現實生活中變量變化的快慢，及如何構建平均變化率的概念。

2? ?教學過程

2.1 觀察發現，通過問題情境發現生活中的平均變化率

變化無處不在，或細微得不易察覺，或巨大得讓人驚嘆！

情境1：汽車加速性能的測定，保時捷911vs法拉利360。

問題1：保時捷911速度從0增加到100公里/小時需4.1秒，而法拉利360需3.8秒，哪款車的加速性能更好？

問題2：用什么數學表達式來描述汽車速度變化的快慢？

情境2：常州市2019年3、4月某幾天日最高氣溫記載（表1）。

問題：根據上面的數據我們可以得到哪些信息？

師：4月19日到4月21日，氣溫忽然升高了14.8℃，人們都在驚嘆：“天氣熱得太快了！”而3月19日到4月19日，氣溫增加了15.1℃，甚至超過了14.8℃，人們卻不會發出上述感嘆，為什么？4月19日到4月21日氣溫變化快——陡增！數學意義是什么？觀察情境2的氣溫曲線圖，思考以下問題：

思考1：“氣溫變化較快”時，圖象有何特征？（視覺化）

思考2：如何量化曲線的“陡峭”程度？（數量化）

總結與思考：如何刻畫變量f（x）在區間[x1，x2]上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？

2.2? 發展生成，根據發現歸納總結出平均變化率的具體定義

平均變化率定義：一般，給出函數在區間上的平均變化率。

根據對情境2的具體分析，師生共同歸納兩點：

1）平均變化率的實際作用：反映函數變化快慢;

2）平均變化率的幾何意義：割線的斜率。

回頭再看前面的問題，用平均變化率來解釋它們.

討論交流：

你能舉出一些用函數的平均變化率刻畫因變量隨自變量變化“快慢”的例子嗎？

函數平均變化率的數值如何刻畫因變量隨自變量變化（增加或減少）的“快慢”？

2.3? 領悟體驗，在實際問題中研究平均變化率

例1.甲獲利8萬元，乙獲利2萬元，那么，你能評價甲、乙兩人投資策略的優劣嗎？變式：甲乙兩人做金融投資時投入的資金相同，甲4年后獲利8萬元，乙在第4個月末掙到2萬元，你能評價甲、乙兩人投資策略的優劣嗎？

例2.小宇的二胎妹妹從出生到9歲的身高變化如圖所示，試分別計算從出生到3歲與6歲到9歲妹妹身高的平均變化率。

設計意圖：上述兩例是教材上的例題，在學生建立起平均變化率的概念之后，進行強化訓練，滲透算法、算理，加深對平均變化率概念的理解，側重于理解平均變化率的實際意義。

設計意圖：讓學生回顧并體會直線的斜率的含義，并發現直線的斜率與平均變化率的關系.

例4.已知函數g（x）=x3，分別計算在下列區間上的平均變化率：

設計意圖：讓學生感知平均變化率在不同區間上發生的變化與聯系，從而找出相似之處，為后續引入瞬時變化率做好鋪墊。

2.4? 歸納總結，理清知識結構，增加知識儲量

（1）f（x）在區間[x1，x2]隨x變化的快慢可用f（x）的平均變化率來刻畫.。

（2）f（x）在區間[x1，x2]上的平均變化率是曲線y=f（x）在區間[x1，x2]上變化趨勢的代數刻畫，曲線變化趨勢是平均變化率的直觀感知。

（3）f（x）在區間[x1，x2]上的平均變化率是在其局部區間上f（x）隨x變化的快慢以及曲線y=f（x）陡峭程度的一種粗略刻畫。

3? ?教學反思

在教學過程中還存在簡單化處理簡單概念的問題，沒有充分的時間讓學生在課堂上大展身手。在引導過程中思維過于局限、不開闊、快人快語，要把發現新知的機會拋給學生[2]。即使他們繞了點彎路，并沒有在兩次嘗試后給出平均變化率的本質含義，只要大方向不錯，不要著急去糾正他們，要讓他們通過自己思考總結出來，這樣學生會十分有成就感，容易激發數學學習興趣。另外，在后續概念應用環節，練大于想，應該讓學生多感受一些特殊曲線的平均變化率，不要局限于熟悉的一次二次三次函數，思維要開闊。對整體的把握還是到位的，也做好了前后呼應，并為后續學習埋下伏筆，從學生的表現來看，大部分人都認識到了平均變化率的極端情況就是瞬時變化率，為后續學習導數打下很好的基礎。

【參考文獻】

[1]殷堰工.教材是開展高中數學探究性學習的重要資源[J].中學數學月刊，2011（5）.

[2]王建平.高中數學概念的教學模式研究[J].小作家選刊：教學交流，2012（8）.