賞析線段和的最小值問題

陳靜雅

【摘 要】線段和最小值問題考察的是學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性較強(qiáng)。因此，它始終是中考的一大熱點(diǎn).解決此類問題的原理是線段公理和垂線段最短定理，但試題一般會(huì)綜合考察軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、函數(shù)等知識(shí)。本文運(yùn)用基本模型及其變形來解析2019年中考相關(guān)題目。

【關(guān)鍵詞】初中幾何;線段和最小值;線段公理;垂線段最短

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）34-0114-02

1? ?基本模型

1.1? 垂線段最短

過直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。

1.2? 線段公理

兩點(diǎn)之間線段最短。

①線段公理變式1：即人教版八年級上冊13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題。

②線段公理變式2：如圖1，已知點(diǎn)A、B為射線ON和OM外的兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q分別為射線ON和OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，確定當(dāng)PA+PQ+BQ最小時(shí)，P、Q的位置。

方法：分別過點(diǎn)A、B做射線ON、OM的對稱點(diǎn)A′、B′，連接AB′，此時(shí)AB′與ON、OM的交點(diǎn)P1、Q1即為所求。（通過軸對稱變換，將折線“掰直”）

③線段公理變式3：如圖2，已知點(diǎn)A、B分別為直線l外同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，P1、P2分別為直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P2在P1右側(cè)），且P1P2=1，確定當(dāng)AP1+BP2+P1P2最小時(shí)，P1的位置。

方法：將點(diǎn)B水平向左平移1個(gè)單位得到B′，過點(diǎn)B’做l的對稱點(diǎn)B’″，連接AB″，此時(shí)AB″與l的交點(diǎn)P即為所求。（通過平移，將兩條被P1P2分開的線段移在一起，再通過軸對稱變換將折線“掰直”即可找到P1。）

2? ?運(yùn)用基本模型來解2019年部分省市中考相關(guān)題目

例1（2019濰坊）如圖3，直線y=x+1與拋物線y=x2﹣4x+5交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，S△PAB=____。

解析：由題意可知，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，A、B為y軸外的兩個(gè)定點(diǎn)。要確定P點(diǎn)的位置使PA+PB最小，因此我們可確定本題的模型為變式1。確定點(diǎn)P位置只需作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，連接B′A與y軸的交點(diǎn)即為P。根據(jù)函數(shù)、方程、對稱的相關(guān)知識(shí)，即可求出點(diǎn)P、C、B的坐標(biāo)，所以S△PAB=S△PCB-S△PAC=2.4.

例2（2019達(dá)州）如圖4，拋物線y=﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B。④點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=1時(shí)，四邊形BCDE周長的最小值為+。其中正確判斷的序號(hào)是____。

解析：由題意可知，D、E分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，B、C分別為x軸和y軸外的兩個(gè)定點(diǎn)，題目是求BE+ED+DC的最小值.因此可確定本題的模型為變式2，求四邊形BCDE周長的最小值，即求BE+ED+DC的最小值，要求BE+ED+DC的最小值，就要把折線“掰直”，其中B、C為定點(diǎn)，E、D為動(dòng)點(diǎn)，所以根據(jù)將軍飲馬，分別作出C、B關(guān)于x、y軸的對稱點(diǎn)C′、B′。因此，BE+ED+DC就轉(zhuǎn)化為B′E+ED+DC′，B′E+ED+DC′的最小值就為C′B′，根據(jù)函數(shù)和對稱相關(guān)知識(shí)即可求出C′B′=，進(jìn)而可求出四邊形BCDE周長的最小值為.

例3（2019成都）如圖5，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連接A′C、A′D′、B′C，則A′C+B′C的最小值為____。

解析：由題意可知A′、B′，以及A′、B′所在的直線都是動(dòng)的，但兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A′、B′之間的距離不變，這與變式2模型類似，所以將A′C平移至B′C′（如圖5），此時(shí)A′C+B′C最小值就是B′C’’+B′C，而此模型正是將軍飲馬的模型。所以連接AB′，B′C″+B′C的最小值就是AC″。因?yàn)锳′B′移動(dòng)的方向和長度固定，所以C″的位置是固定的.進(jìn)而根據(jù)相關(guān)幾何知識(shí)即可求出AC″=.

例4（2019長沙）如圖6，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是？

解析：由于定點(diǎn)B和動(dòng)點(diǎn)D在同一條線段上，所以本題不是將軍飲馬的問題。因此解題的關(guān)鍵是要把線段CD和D“掰直”，但是還不知道BD代表哪一條線段，所以要想辦法將BD轉(zhuǎn)化成一條可視的線段.而且一般情況下，一條帶倍數(shù)的線段可以通過三角函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為另一條線段，所以通過tanA=2可以計(jì)算出cosA=，因此，可以聯(lián)想到將BD轉(zhuǎn)化為以BD為斜邊，且有一個(gè)角等于∠A的三角形中的一條直角邊。所以過D作DF⊥AB于點(diǎn)F，此時(shí)BD=FD，因此BD+CD=FD+CD，這時(shí)FD+CD就可以“掰直”了，“掰直”之后就是CF，接下來根據(jù)垂線段最短，所以CF的最小值為CG=。

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)在今年各省市的中考試題中，成都市、達(dá)州市、武漢市、宿遷市的填空壓軸，長沙市選擇題壓軸以及重慶市大題壓軸題都考察了相關(guān)知識(shí)。這類題目綜合性強(qiáng)，難度較大，雖然考察的內(nèi)容與問題原型相比會(huì)有一些變化，但是仔細(xì)閱讀題目，尋找與問題原型共通的地方，根據(jù)問題原型的解決辦法去尋找題目的突破口，才是解決問題的方法。

參考文獻(xiàn)

[1]朱廣科.線段和（差）最值問題的變式探究與啟示[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2016（11）.