“九連環”里有“大學問”

姚從昌

摘要：我嘗試著從數學中“數”的角度來研究“九連環”，每練習一次，就用筆記錄下來……一位同學感慨地說：“老師，我發現剛才我們用到了尋找數規律的方法，還用到了時間單位的轉換，最后還運用了估算，小小的“九連環”里面真是藏著‘大學問’哪！”

關鍵詞：益智器具;九連環;解環;上環

正文：益智器具，顧名思義，是指有益于開發心智的小玩具。就拿小小的“九連環”來說，要想玩轉它，亦需動手燒腦，頗費一番周折呢。但玩在其中，學在其中，也樂在其中，所以，益智器具“九連環”課程在我們班級一推出，就受到了學生的極大歡迎。課堂上，同學們凝神屏氣，巧手翻飛，收獲著探索的快樂和成功的喜悅。

教學相長，授之以魚，莫若授之以漁。作為一名數學老師，又是學校“九連環”益智器具課的主教老師，我巧妙地把數學思維引入教學中，提前鉆研，一遍遍地練習推算，把“九連環”的解法徹底吃透摸清，終于成功實現了用最少步驟進行解環和上環。

我嘗試著從數學中“數”的角度來研究“九連環”，每練習一次，就用筆記錄下來，幾次統計后，我驚奇地發現“九連環”解環成功都需要256步。我查閱了有關資料進行驗證，發現傳統的算法都是341步。85步之差，問題到底出在哪里？通過反復比較，我發現傳統的算法是把第一環和第二環同時拆裝看做兩步;而我則是把第一環和第二環同時解下看做一步。原來殊途同歸，原理相同，僅在計算方法上存在差異。

緊接著，我對每一個解環過程做了進一步的推算，竟然發現小小的“九連環”深藏著有趣的規律性。從奇數連環入手，我發現解一連環需1步，解三連環需4步，解五連環需16步，解7連環需64步，而解九連環需256步，即每增加兩連環步數需要乘4。如果是偶數個連環，解二連環需1步，解4連環需7步，解6連環需31步，解8連環需127步，每增加兩連環步數乘4加3。如圖：

如此，就可輕易地推導出解每個環的步數公式。即解一連環為2的0次方，三連環為2的2次方，解五連環為2的4次方，解七連環為2的6次方，解九連環為2的8次方，用公式表示為：S= ?（n為奇數）;偶數個連環時，解的步數為上一級奇數連環環的步數除以2減1，是下一級奇數連環的步數乘2減1，我們可以用公式來表示：S= ?-1 ?（n為偶數）。

后來，我又經過深思熟慮從其他角度，又可推演出新的計算公式：S= ?（n為奇數），S=2 -1 ?（n為偶數） 。

推導出以上兩種公式，心中豁然開朗，小小的“九連環”原來和數學有著如此密切又深遠的聯系。但面對小學六年級的學生，對完全平方數理理解尚不深不透，如何把此間的關系明白透徹地教給學生，引導他們合理推算，積極探索，享受發現的快樂，而不是“填鴨式”地硬塞硬灌，又是教學方式上面臨的一個問題。

我決定利用學生熟知的統計表尋找規律的方式靈活進行教學。當我們統計出解下五連環的步數是16時，學生很快就推算出：七連環的解下步數是五連環步數的4倍，即16×4=64，九連環的解下步數是七連環的解下步數的4倍，即64×4=256。在算六連環，八連環的解下步數時，學生遇到了一些困難，但是也能推算出來六連環的解下步數是解五連環步數的2倍減1，即：16×2-1=31，八連環的解下步數是解七連環步數的2倍減1，即：64×2-1=127。

舉一反三，緊接著，我引導學生嘗試推算，解下“十連環”最少需要的步數。學生們立刻計算出來：256×2-1=511，接著追問，解下“十一連環”最少需要多少步？學生也能計算出：256×4=1024……解下“十五連環”最少需要多少步？256×4×4×4=16384……解下“十九連環”最少需要多少步？16384×4×4=262114，當學生算出后，面對如此大的數字，禁不住連連驚嘆。

我進一步引導學生，按照班里學生最快的速度——田佳欣用時4分23秒（比吉尼斯世界紀錄3分57秒僅慢30秒），解“十九連環”需用多長時間？學生馬上開始算起來：4分23秒等于263秒，263秒完成256步，大約1秒解下1步。一共用時：262114÷60÷60≈73（時），不吃不喝不休息，手以最快的速度，還不出現錯誤的前提下，比3天的時間還要長……當學生算出來以后，像發現了新大陸似的，教室內瞬間氣氛爆棚，學生的情緒完全被點燃，每個人都沉浸在探索的快樂中。

總結發言時，一位同學感慨地說：“老師，我發現剛才我們用到了尋找數規律的方法，還用到了時間單位的轉換，最后還運用了估算，小小的“九連環”里面真是藏著‘大學問’哪！”

是啊，豈止小小的“九連環”里面有“大學問”，其他益智器具里面也有“大文章”，只要我們善于觀察，勤于動腦，就能發現益智器具與數學的結合點，就能發現益智器具里面數學的奧秘，最終實現學生智力和思維能力提高的目的。

本文為聊城市教育科學規劃課題《基于中國傳統益智器具教學的小學數學思考力培養的實踐研究》（課題立項編號為：LJ1901015 ）的階段性研究成果。