一道幾何題引發(fā)的思考

龔蘭

摘要：在一次作業(yè)中，有一道挺普通的幾何題擋住了我班不少同學(xué)的去路，通過查閱學(xué)生答卷上的“蛛絲馬跡”，詢問學(xué)生答題時(shí)的“心路歷程”，想一探究竟，以便更好改進(jìn)自己的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：幾何題;教學(xué)反思;教學(xué)啟示

原題再現(xiàn)：如圖，△ABC中，4AB = 5AC，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，F(xiàn)G = FD，聯(lián)結(jié)EG交AC于點(diǎn)H，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，求AG：FD。

反思一：為什么很多同學(xué)加了平行線？

其實(shí)這道題想到添加平行線還是很正常的，重新審視這個(gè)問題，由于GF=FD，所以要求AG：FD即求AG：GD。而AG、GD恰是同一直線AD上的兩條線段，一般求同一直線上兩條線段加平行線的可能性不小，再進(jìn)一步看點(diǎn)H是線段AC上的中點(diǎn)，于是添加以下兩條平行線的輔助線也就不足為奇了，如圖2、圖3。

加之考前有一道練習(xí)，就是添加平行線做的，使得很多學(xué)生更加篤定地走上了添加“平行線”這條道路。進(jìn)一步剖析，從梅涅勞斯定理角度考慮，直線GE截△ADC，有三個(gè)分點(diǎn)G、H、E，現(xiàn)在已知AH=HC，求的是AG：GD，缺的就是DE：CE，這也是許多同學(xué)添了平行線但還是卡在這個(gè)環(huán)節(jié)。那平行線的解法到底可行嗎？我的結(jié)論是可行但復(fù)雜。

延長(zhǎng)EG交AB于點(diǎn)J，由于∠AHG=∠B，所以△AHJ∽△ABC，于是AJ=（8/5）k，AJ：JB=8：17。

根據(jù)角平分線的性質(zhì)BD：DC=5：4，設(shè)BD=5k，DC=4k，不難得到CE=AP=8k，結(jié)果自然就出來了。

所以不是平行線不能添，而是在添平行線的過程中如果能有新發(fā)現(xiàn)，那就太棒了，可以走更便捷的路，你在發(fā)現(xiàn)∠AHG=∠B得到△AHJ∽△ABC時(shí)，能不能去發(fā)現(xiàn)∠AHG=∠B后，再加上AD平分∠BAC，從而直接得到△AHG∽△ABD，這樣就簡(jiǎn)單了。

反思二：不會(huì)分析，套題不成只能束手無策

教相似時(shí)肯定要教基本圖形，而且要讓學(xué)生掌握好。

首先，大多數(shù)試題中的圖都是由這些基本圖形為主干的，對(duì)于這些基本圖形的邊、角關(guān)系的熟悉有利于提高思維效率，何況從復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)特殊圖形也是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何需具備的能力。

其次，研究基本圖形的過程也是示范研究其他相似圖形的過程，這個(gè)探索的過程本身也是有價(jià)值的。

本題中的這組相似三角形就是學(xué)生所不熟悉的，當(dāng)然這與同學(xué)初學(xué)相似，火候不夠有關(guān)，但其中蘊(yùn)含的原因依然值得深思，這說明很多學(xué)生的思維依舊停留在“套”的層面，沒有學(xué)會(huì)分析問題的一般方法。套策略，嘗試添平行線而不成;套圖形，沒有發(fā)現(xiàn)基本圖形而卡住。

反思三：做題不能只局限于題目本身

對(duì)于上述題目，如果只追求做出結(jié)果，那么添平行線的方法也是完全可以做出來的，但是顯然不是最便捷的方法，所以我們還要繼續(xù)去分析直接利用相似的方法去做，要去比較、體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣，并去思考自己為什么沒有想到第二種方法，甚至為什么想到添平行線但是沒能做出來，這都是從這樣一道題的解答所延伸下去的，這比這道題本身更具價(jià)值，我想這也是提高數(shù)學(xué)幾何題分析能力的必經(jīng)之路，師生要一起要努力的。

反思后的啟示：

啟示一：思維能力的提升不是靠刷題

數(shù)學(xué)思維能力的提升不是一朝一夕，在于平時(shí)的日積月累，在于師生的共同努力，數(shù)學(xué)老師要講解怎么做，更要講解為什么這么做，學(xué)生要知道怎么做，還要知道還能不能別的方法做，更要知道為什么選擇的方法做不出，作為我們老師要讓學(xué)生明白比刷題更重要的是動(dòng)腦和反思，將教師對(duì)于問題的理解與自己的感悟融會(huì)貫通，最終形成屬于自己解決問題的分析策略，在實(shí)戰(zhàn)中提升邏輯思維能力，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的初心，也是提升數(shù)學(xué)的途徑。

啟示二：注重培養(yǎng)學(xué)生“反思”的意識(shí)與能力

經(jīng)常惆悵 “我講過的題為什么你們還不會(huì)？”，感覺學(xué)生有負(fù)于我。其實(shí)讓學(xué)生聽懂只是初級(jí)階段，讓學(xué)生換位來講，讓其他學(xué)生聽懂才是更高的階段。

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生到底能收獲什么？我想應(yīng)該是數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思維。而數(shù)學(xué)技能的提升和數(shù)學(xué)思維的形成，是不可能硬塞進(jìn)人腦的，只有靠學(xué)生親歷才能獲得的。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)不在于形式，而在于這種教學(xué)行為是否能真正觸發(fā)每一位學(xué)生的思考，領(lǐng)悟思考一般方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生，而不是牽著學(xué)生走;鼓勵(lì)學(xué)生，而不強(qiáng)迫學(xué)生走;啟發(fā)學(xué)生，而不代替學(xué)生走。

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程中尤要重視培養(yǎng)學(xué)生“反思”的意識(shí)與能力，如果說一題多解是發(fā)散，那么多解歸一就是聚合，就是促進(jìn)學(xué)生回溯思維的路徑。這樣處理數(shù)學(xué)問題的立意也許就不僅在于這道題怎么做，而是遇到這類數(shù)學(xué)問題應(yīng)該怎么思考了，也就是著眼于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

啟示三：教學(xué)設(shè)計(jì)要注重整體把握和一般方法的研究

由此我也聯(lián)想到了，現(xiàn)在大力提倡的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，著眼于整體把握和研究一般方法，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)整體把握。數(shù)學(xué)的整體性既體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角、概率等各分支之間的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一分支知識(shí)的前后邏輯連貫性上。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要基于整體，新課教學(xué)要有相應(yīng)的整體觀念貫穿始終;章節(jié)教學(xué)結(jié)束需有知識(shí)的整理與概括;教學(xué)過程中需強(qiáng)調(diào)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性，幫助學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。為了更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性，則需站在中觀視角，先進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，再將其落實(shí)于每節(jié)課的教學(xué)。

結(jié)論：

數(shù)學(xué)思維能力不是一朝一夕就能提升一樣，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)也是任重而道遠(yuǎn)的，在路上的我們只有不斷摸索，并在摸索中不斷反思，在反思中繼續(xù)前行，我想這樣堅(jiān)持下去總能收獲到一些我們所想要的東西。

參考文獻(xiàn)：

[1]李國(guó)平.運(yùn)用向量法多角度思考一道立幾題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（19）：48.

[2]鄭良.細(xì)研教材 整體架構(gòu) 領(lǐng)悟本質(zhì) 提升素養(yǎng)——由兩道立體幾何題測(cè)試結(jié)果引發(fā)的思考[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2018（07）：37-40.