例談初中生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)

李賀 張衛(wèi)明

編者按根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》，可以提出數(shù)學關鍵能力的基本成分：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析。在2018年江蘇省義務教育階段學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，董林偉老師帶領的課題組嘗試在測試題目及師生問卷中加入測量、調(diào)查6個數(shù)學關鍵能力的元素，得到的大樣本數(shù)據(jù)在一定程度上反映了江蘇省八年級學生數(shù)學關鍵能力的發(fā)展狀況。他們還針對測試結(jié)果反映出來的問題，力圖提出一些初中生數(shù)學關鍵能力培養(yǎng)的可行性建議。本期《本刊特稿》欄目承接上一期，刊發(fā)李賀等老師的4篇研究文章。

摘要：基于2018年江蘇省義務教育學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中主要考查數(shù)學建模能力的9個小題及6個師生問卷題的監(jiān)測結(jié)果，對初中生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)提出教學建議：在“做數(shù)學”的過程中體驗數(shù)學模型建構(gòu);以閱讀能力提升促進數(shù)學建模能力發(fā)展;有學生思維參與和感悟的概念教學是培養(yǎng)數(shù)學建模能力的起點。

關鍵詞：學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學建模做數(shù)學閱讀能力概念數(shù)學

數(shù)學建模能力是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法建構(gòu)模型解決問題的能力。主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題等環(huán)節(jié)。數(shù)學建模能力具體表現(xiàn)在三個方面：一是在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學語言表達問題;二是在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學模型;三是運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型，最終解決實際問題。數(shù)學建模能力從高到低可以分為A、B、C、D四個水平。

數(shù)學建模能力是數(shù)學關鍵能力的構(gòu)成要素，是聯(lián)系數(shù)學世界與現(xiàn)實世界的基本橋梁，是將數(shù)學的知識、方法和思想應用于數(shù)學之外，解決實際問題的基本通道，體現(xiàn)了數(shù)學的應用意識與創(chuàng)新意識。

2018年江蘇省義務教育學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，共設計了9個小題（下文提到的每一道試題都是其中之一，用具有明確含義的字母與數(shù)字組合進行編號——其中的“M”指數(shù)學，“8”指年級，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客觀題，“S”代表主觀題，后三個數(shù)中前兩個代表題號，最后一個代表小題號）主要用以考查學生的數(shù)學建模能力。分析樣本數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)，江蘇省八年級學生的數(shù)學建模能力總體發(fā)展不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出，對生活情境的抽象能力、對文本的閱讀理解能力、建立函數(shù)模型（關系）的能力、解方程（組）的能力亟待提高。本文根據(jù)全省46262名八年級學生的測試成績、問卷調(diào)查以及4573名數(shù)學教師的問卷調(diào)查得到的數(shù)據(jù)分析，對初中生數(shù)學建模能力的培養(yǎng)提出相應的教學建議。

一、在“做數(shù)學”的過程中體驗數(shù)學模型建構(gòu)

數(shù)學建模是解決實際問題的過程，就是一個“做數(shù)學”的過程。美國數(shù)學家哈爾莫斯（P.R.Halmos）指出：“學習數(shù)學的唯一方法是做數(shù)學。”《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“要讓學生親歷數(shù)學知識的形成過程。”只有通過親身感受、自我探索獲得的知識，才會根深蒂固地扎根在自己的腦海中。因此，數(shù)學教學要聯(lián)系學生的生活實際，讓學生在現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，增強學習動力，讓學生通過積極思考、實踐操作、大膽猜測、小心求證、自主探索、合作交流等方式來學習數(shù)學——我們稱之為“做數(shù)學”。事實上，只有讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，才能更好地滲透模型思想。

試題M8AS151從2017年9月21日起，全國鐵路實施新的列車運行圖，京滬高鐵同步提速。記者從北京鐵路局獲悉，提速后，平均速度每小時快60 km，全程需4 h，比提速前縮短1 h。提速后，平均每小時行駛多少千米？

本題借助于建立一元一次方程來測量學生“在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學模型”這一數(shù)學建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為65.2%，數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為94.0%、50.9%、11.8%和2.8%。

本題是一個典型的行程問題，涉及的量有提速前的速度、提速前的時間、提速后的速度、提速后的時間，等量關系是提速前后的路程相等。題目沒有直接給出這些量的具體值，只給出了提速前后的速度差、時間差以及提速后的時間。這就需要學生用未知量去表示數(shù)量關系，進而用數(shù)學符號語言去建立等式。

結(jié)合實測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個方面：（1）分析不出因為速度變化，導致時間變化，但是路程不變的等量關系;（2）列方程時，對等號兩邊各個量的意義不明確，導致列的相等關系不成立;（3）計算能力不強，導致解方程出錯;（4）對“路程一定的條件下，速度增加，時間減少”這樣的生活常識不清楚，導致列式子時速度與時間不對應，等式不成立。

針對以上數(shù)學建模障礙，教師應意識到，數(shù)學建模來源于生活實際，又應用于生活實際。方程（組）模型的教學必須讓學生經(jīng)歷兩個方面的活動：一是從不同的問題情境中識別出存在的等量關系，并用恰當?shù)姆匠蹋ńM）表達;二是針對給定的方程（組），給出符合其等量關系的實際背景。教師要引導學生從身邊的實際問題出發(fā)研究方程（組），可以通過學生的描述、演示、實驗等活動，讓學生感受抽象的問題背景。如行程問題的數(shù)學，教師可以組織學生表演題目中的情境，或者用幾何畫板制作質(zhì)點運動動畫，讓學生充分感受變化的量之間的關系，進而尋求、建立等量關系。在教學中，注意聯(lián)系身邊的事物，讓學生經(jīng)歷問題產(chǎn)生的過程，體驗“做數(shù)學”的過程，感受成功的喜悅，這對激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣、培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識、提升學生解決實際問題的信心是非常重要的。

二、以閱讀能力提升促進數(shù)學建模能力發(fā)展

數(shù)學建模問題經(jīng)常有大段的文字敘述。從文字敘述中提煉出基本的數(shù)學骨架是對學生數(shù)學建模能力的考量。面對內(nèi)容各異的問題情境，數(shù)學建模能力強的學生能順暢利用數(shù)學符號、圖形等語言表示所發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關系或數(shù)學規(guī)律，抽象出情境中的數(shù)學本質(zhì)。但是，由于數(shù)學閱讀材料的文字敘述較長、內(nèi)容更加貼近生活、數(shù)量關系分散隱蔽，導致許多學生讀不懂題目，不知道從何下手。因此，強化閱讀理解能力的培養(yǎng)，使學生“數(shù)學”地閱讀、理解材料，是提升學生數(shù)學建模能力的前提。蘇聯(lián)著名數(shù)學教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學。”因此，從語言學習的角度講，數(shù)學教學還必須重視數(shù)學閱讀。

試題M8AS182如圖1，商品條形碼是商品的“身份證”，共有13位數(shù)字。它是由前12位數(shù)字和校驗碼構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)分別代表“國家代碼、廠商代碼、產(chǎn)品代碼和校驗碼”。

其中，校驗碼是用來校驗商品條形碼中前12位數(shù)字代碼的正確性的。它的編制是按照特定的算法得來的。其算法為：

步驟1：計算前12位數(shù)字中偶數(shù)位數(shù)字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34;

步驟2：計算前12位數(shù)字中奇數(shù)位數(shù)字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26;

步驟3：計算3a與b的和c，即c=3×34+26=128;

步驟4：取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d，即d=130;

步驟5：計算d與c的差，就是校驗碼X，即X=130-128=2。

請解答下列問題：

（2）如圖2，條形碼中被污染的兩個數(shù)字的和是5，則這兩個數(shù)字從左到右分別是、。

本題借助于建立方程和不等式來測量學生“在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學模型”這一數(shù)學建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為37.7%，數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為56.3%、21.9%、14.8%和6.8%。

結(jié)合實測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個方面：（1）對商品條形碼這一名詞比較陌生，對解決步驟復雜的閱讀理解題缺乏信心;（2）漏讀信息，抓不住文本中的關鍵詞，導致不理解題意，不知道要解決什么問題;（3）不能將復雜的文字語言“取大于或等于c且為10的整數(shù)倍的最小數(shù)d”轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言;（4）不能將抽象的未知量與閱讀內(nèi)容結(jié)合，找到等量關系。

考查數(shù)學建模能力的題目始于閱讀理解，終于“雙基”計算。強化閱讀理解能力的培養(yǎng)，可以從以下幾個方面著手：

1.激發(fā)學生數(shù)學閱讀的興趣，提高學生閱讀理解的信心。教師在日常教學中，可以開發(fā)一些與學生生活息息相關的題目，引導學生觀察生活，挖掘生活中的數(shù)學素材，對常見的專有名詞（如利率、利潤、保險費、折舊、納稅等）解釋透徹。

2.鼓勵學生“讀進去，說出來”。教學中，讓學生閱讀題目后， 通過分析思考，說出題目所提供的信息條件、事情過程。可以讓學生剖析字句，說題目條件;也可以讓學生通讀全題，說題目要素;還可以讓學生形成解題思路后，說解題步驟。

3.保證學生課堂學習的主體地位，激發(fā)學生課堂參與的積極性和主動性，促進學生的想象力和創(chuàng)造性，讓學生勇于表達，善于思考。這樣，學生才能解放思想、充分交流，才能順利地閱讀和理解數(shù)學文本，才能用口頭或書面的形式向他人解釋自己對數(shù)學的理解和研究成果，才能成功地吸收他人的心得，從而迅速地提升自己的認識。

三、有學生思維參與和感悟的概念教學是培養(yǎng)數(shù)學建模能力的起點

數(shù)學教學的根本目的是促進學生發(fā)展，教師以自然而然、水到渠成的知識發(fā)展過程為載體，設計學生的數(shù)學活動過程，使學生的數(shù)學思維充分展開，深度參與到數(shù)學知識的探究中，才能使學生達到對數(shù)學概念、原理和思想、方法的實質(zhì)性理解，運用數(shù)學知識解決實際問題的能力才能得到落實。學生只有經(jīng)歷概念的形成過程，才能利用概念解釋各種變化的現(xiàn)象，構(gòu)建合適的數(shù)學模型解決問題。

試題M8AS173小明計劃購買一雙運動鞋，在購物網(wǎng)站上瀏覽，看到如表1所示的男鞋尺碼對照表。

中碼CHN220225230…250255260…美碼USA4.555.5…7.588.5…（3）若美碼（y）與中碼（x）之間滿足一次函數(shù)關系，請求出這個函數(shù)表達式：。

本題借助于建立一次函數(shù)表示數(shù)量關系和變化規(guī)律來測量學生“在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，針對問題建立數(shù)學模型”這一數(shù)學建模能力具體表現(xiàn)的水平狀況。本次測試中，本題的得分率為62.3%，數(shù)學總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在此題上的得分率分別為92.9%、47.0%、3.2%和0%。

結(jié)合實測數(shù)據(jù)分析與30人訪談結(jié)果，本題失分的原因有以下幾個方面：（1）讀不懂表格所表達的意思;（2）不理解表格中的數(shù)據(jù)與要建立的一次函數(shù)之間的關系;（3）不理解函數(shù)概念中x、y兩個變量之間的關系;（4）混淆自變量、因變量，求得結(jié)果為x=10y+175;（5）在用待定系數(shù)法求解的過程中，解二元一次方程組出現(xiàn)錯誤。

由常量數(shù)學到變量數(shù)學，是數(shù)學思維的一次飛躍。函數(shù)概念的教學，可以參考以下幾點建議：

1.從豐富多彩的實際背景入手，通過填表、列式的方式了解常量、變量的意義和變量之間關系的共同特征，從中認識和理解函數(shù)的意義，在此基礎上抽象出函數(shù)的概念。具體到正比例函數(shù)、一次函數(shù)模型中，面對每一個實際背景，教師都要引導學生說出自變量、因變量、常量，感受變量關系。

2.根據(jù)教材編寫意圖和學生學習實際，讓學生舉出函數(shù)實例，從中挖掘思維過程，并通過“你為什么說……？”“你是怎么想的……？”等問題，促進學生深化思考，理解對應關系。在大量實例的基礎上，逐步培養(yǎng)學生利用概念解釋數(shù)學對象的習慣與能力。

3.給學生充分的時間，讓學生充分聯(lián)系頭腦中已有的認知結(jié)構(gòu)與新學的知識，把對概念實質(zhì)的概括機會留給學生，引發(fā)學生對概念的理解。

本文系江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進式改革重大研究項目”中“義務教育學科核心素養(yǎng)和關鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）的階段性研究成果。

參考文獻：

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