中學生數(shù)學邏輯思維發(fā)展的心理學研究及其對教學的啟示

嚴卿 喻平

摘要：對心理學關于演繹與歸納這兩種數(shù)學邏輯思維發(fā)展的研究做簡單梳理，揭示數(shù)學邏輯思維發(fā)展的年齡特征：中學是數(shù)學邏輯思維發(fā)展的關鍵階段。在此基礎上，針對學生數(shù)學邏輯思維發(fā)展中存在的問題、困難，提出教學策略：結(jié)合邏輯知識對演繹思維進行專門訓練，進行填補推理依據(jù)訓練，采用新定義問題情境訓練;參考基本模型并設計“陷阱”問題對歸納思維進行專門訓練，強調(diào)概念形成訓練，突出解題概括訓練。

關鍵詞：邏輯思維心理學研究演繹歸納

數(shù)學被稱為“思維的體操”，數(shù)學教育的一個基本價值在于培養(yǎng)學生的思維，如分析與綜合、直觀與抽象、歸納與演繹、猜測與搜索等。當下，數(shù)學教育的重心在于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學思維之間存在一些顯而易見的重合部分，如抽象思維、邏輯思維、模型思想等。正如鄭毓信教授所指出的：“數(shù)學核心素養(yǎng)”的真正核心在于“幫助學生通過數(shù)學學會思維，并逐步學會想得更清晰、更全面、更深入、更合理”。

思維的發(fā)展存在一定的規(guī)律，在發(fā)展的關鍵階段施以適當?shù)慕虒W干預，才能取得事半功倍的效果。本文聚焦演繹與歸納這兩種數(shù)學邏輯思維，對心理學關于數(shù)學邏輯思維發(fā)展的研究做簡單梳理，揭示數(shù)學邏輯思維發(fā)展的年齡特征。在此基礎上，針對學生數(shù)學邏輯思維發(fā)展中存在的問題、困難，提出教學策略。

一、心理學對數(shù)學邏輯思維發(fā)展的研究

（一）演繹思維發(fā)展的研究

演繹，是獲得確定性知識、驗證知識正確性的可靠方式。借助演繹的鏈條，能將一個個數(shù)學概念、命題聯(lián)系起來，幫助學生形成知識網(wǎng)絡。

多項研究表明，初、高中是學生演繹思維快速發(fā)展的階段。林崇德將中學生論證推理能力劃分為四個水平：直接推理水平、間接推理水平、迂回推理水平、按照一定數(shù)理邏輯格式進行綜合性推理的水平。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，初一和初二、高一和高二年級之間的差異達到了顯著的水平，初二和高二是中學生數(shù)學推理能力發(fā)展的轉(zhuǎn)折點。孫敦甲研究發(fā)現(xiàn)，中學數(shù)學邏輯思維的發(fā)展是從形象抽象思維到形式抽象思維，最后向著辯證抽象邏輯思維發(fā)展;初二與初三、初三與高一、高一與高二年級之間的差異均達到了非常顯著的水平，可見這段時間發(fā)展十分迅速。武錫環(huán)等人使用“定義規(guī)則型問題”對初中生演繹推理能力的研究顯示，三個年級的結(jié)果呈直線上升趨勢，年級之間的差異都是顯著的。Knuth等人對6至8年級學生的演繹思維進行了研究。他們設置了一類“定義型問題”，例如將四邊形定義為“使用四條直線將A、B、C、D四個點相連”——這是一個在一定程度上違反習慣但從專業(yè)角度來說正確的定義。6年級的樣本中，有三分之二的學生依據(jù)習慣做出了錯誤的判斷，而8年級的樣本中，這一比例下降至三分之一。這表明隨著年齡的增長，更多學生能夠依據(jù)給定規(guī)則（而非固有觀念）進行演繹。此外，研究還發(fā)現(xiàn)，學生判斷假言命題的能力取決于能否想象出反例，8年級的學生在這一點上優(yōu)于6年級的學生是因為他們對問題中的反例更熟悉。Porteous設計了三個問題，包括“連續(xù)三個自然數(shù)之和是3的倍數(shù)”等，考查11至16歲的學生在判斷命題時對于演繹證明與個例驗證方法的認識。研究發(fā)現(xiàn)，雖然能夠給出演繹證明的學生人數(shù)隨著年齡的增長有顯著增加，但是這些學生在總樣本中的比例僅為10%;而超過40%的學生認為通過多組個例可以確保命題的正確性。

在有的研究中，中學生演繹思維的發(fā)展則并不明顯。Hoyles等人追蹤研究了8年級學生前后一年間演繹思維的發(fā)展情況。他們圍繞兩個假言命題——“如果兩個整數(shù)的和是偶數(shù)，它們的積是奇數(shù)”“如果兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，它們的和是偶數(shù)”，要求被試回答如下問題：（1）兩個命題是否表達相同的意思？（2）假設后一個命題正確，現(xiàn)已知兩個整數(shù)的積是1271，能否直接得出它們的和是偶數(shù)？（3）分別證明這兩個命題。這些問題分別考查了學生對逆命題的認識、依據(jù)規(guī)則的演繹以及對假言命題的證明（證偽）。對于前兩問，學生的正確率分別為13%、47%;對于第三問，能夠一般性證明的學生僅占9%左右，能夠正確呈現(xiàn)反例的也僅有28%。一年后再次施測，結(jié)果顯示，雖然總體有所進步，但是十分有限;雖然取得進步的學生更多，但是也有一些學生反而退步了。

（二）歸納思維發(fā)展的研究

借助歸納思維，可以從具體的現(xiàn)象得到一般性結(jié)論。這是一條從經(jīng)驗到理論的路徑，是獲得新的知識、形成創(chuàng)新思維的途徑。

多項研究表明，中學也是學生歸納思維快速發(fā)展的時期。武錫環(huán)等人將信息表征、歸納識別、形成猜想、假設檢驗確定為歸納推理的四個重要影響因素，并據(jù)此編制測試題。在初中三個年級施測的結(jié)果顯示，總體而言，初一、初二的學生差別不大，而初二、初三的學生則差異顯著。這說明初二年級是歸納推理能力發(fā)展的關鍵時期。具體到各個因素的發(fā)展情況，在初中階段，信息表征能力穩(wěn)步上升，歸納與猜想能力緩慢增長，而假設檢驗能力增長不大。學生在歸納推理中，缺乏對得到的結(jié)論進行檢驗的習慣，反映出自我監(jiān)控、自我反思能力低下。其原因包括，大量的訓練使學生的自我監(jiān)控能力降低，成功的體驗干擾了學生的檢驗意識等。黃煜烽等人對初一、初三、高二三個年級學生歸納推理能力的研究也顯示，初二年級是歸納推理能力迅速發(fā)展的時期，而初一學生的歸納推理還依賴于具體經(jīng)驗的支持，往往體現(xiàn)為枚舉而非得到新的含義。Csapó對3、5、7、9、11五個年級2400多名學生歸納推理能力的研究表明，3年級學生已經(jīng)具備了一定的歸納推理能力;低年級得分的標準差較大，原因是少數(shù)學生在早期就具備較強的歸納推理能力;5～7年級是歸納推理能力發(fā)展最迅速的時期，9年級后發(fā)展速度明顯放緩。

總體而言，中學是數(shù)學邏輯思維發(fā)展的關鍵階段。雖然一些研究的結(jié)果表現(xiàn)出了一定的差異，但是這種差異是可以理解的：除去研究樣本、工具等的不同，數(shù)學邏輯思維的發(fā)展是外部環(huán)境（教學）與生理成熟兩個方面共同作用的結(jié)果，快速發(fā)展期并不代表必然發(fā)展。這也更加凸顯教學干預的重要意義：促進學生數(shù)學邏輯思維順利、快速地發(fā)展。

二、對中學數(shù)學教學的啟示

張緒揚做了一項實驗研究，其方法是利用課外時間對學生進行專題訓練，其材料為：要看到事物的下面與反面，不要簡單地接受或拒絕;要全面地考慮一個情境中的所有因素;要有一些為人們廣泛理解并共同遵守的規(guī)則;要注意行動的近期后果和長遠后果;要弄清行動的目的;在行動之前，要有明確的計劃;要按照問題的重要性排列順序，優(yōu)先解決比較重要的問題;要想出解決問題的新的可能性，不拘泥于老一套的辦法;在任何時候，都必須做決定;要放棄自己的觀點，考慮別人的觀點。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這樣的訓練可以提高學生思維的靈活性、深刻性、流暢性，促進創(chuàng)造性思維的發(fā)展。這項研究表明，對學生進行專門的思維訓練是有重要意義的，在學生思維能力發(fā)展的關鍵期顯得更有必要。

（一）演繹思維訓練策略

1.對演繹思維進行專門訓練。

在初中階段，特別是在初二年級，要對學生進行判斷、演繹推理的訓練。

判斷的訓練要使學生能夠理解判斷的分類和相互關系。按照質(zhì)與量分類，判斷可以分為全稱肯定（A判斷：所有的S都是P）、全稱否定（E判斷：所有的S都不是P）、特稱肯定（I判斷：有些S是P）、特稱否定（O判斷：有些S不是P）。四種判斷之間組成圖1所示的關系。其中，反對關系的兩個判斷不能同時為真;下反對關系的兩個判斷不能同時為假;從屬關系的兩個判斷“上真亦下真、下假亦上假、上假下不定、下真上不定”;矛盾關系的兩個判斷不能同時為真，也不能同時為假。

演繹推理的訓練要使學生能夠基本判斷三段論的格式，并且掌握三段論四個格中的前面兩個格。第一格：中項M是大前提的主項，是小前提的謂項。滿足：大前提必須是全稱的，小前提必須是肯定的。例：矩形是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，所以，四邊形ABCD是平行四邊形。第二格：中項M在大、小前提中都是謂項。滿足：大前提必須是全稱的，有一個前提必須是否定的。例：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，3.1416不是無限不循環(huán)小數(shù)，所以，3.1416不是無理數(shù)。

高中數(shù)學課程涉及一些專門的形式邏輯內(nèi)容：充分條件與必要條件，四種命題的關系等。實際上，這兩部分內(nèi)容歸根結(jié)底可以統(tǒng)整于假言推理的四種形式。給定一個假言命題“若p則q”，有四種推理形式：①當p成立時，q成立;②當q成立時，p不一定成立;③當p不成立時，q不一定成立;④當q不成立時，p不成立。①和②分別是肯定前件與肯定后件的推理，也是充分、必要條件最核心的內(nèi)容;③和④分別是否定前件和否定后件的推理。另外，②是對逆命題的判斷，③是對否命題的判斷，④是對逆否命題的判斷。在教學中，可以從這四種推理形式出發(fā)來介紹這部分內(nèi)容，從而減少新概念對工作記憶的占用;還要注意設計一些非數(shù)學問題，幫助學生加深對這些知識的理解，從而提升邏輯思維水平。

2.進行填補推理依據(jù)訓練。

在例題講解中，教師可以設計一些缺少推理依據(jù)的樣例，讓學生補全缺少的依據(jù)。這是訓練學生嚴謹邏輯思維的有效方式，特別是在幾何證明的入門階段，采用這種方法更為有效。樣例的設計可以由易到難：先設計只需要補充一個依據(jù)的問題，再過渡到需要補充兩個、三個……依據(jù)的樣例。本質(zhì)上，這是在訓練學生掌握三段論規(guī)則，提升演繹推理能力。

3.采用新定義問題情境訓練。

所謂新定義問題情境，是指利用學生學習過的概念定義一個學生不熟悉的新概念，并利用這個新的概念解決問題的情境。顯然，要解決這類問題，學生必須具備較高的演繹推理能力。

例1大家都知道菱形、矩形與正方形的形狀有差異。我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”。在研究“接近度”時，應保證相似圖形的“接近度”相等。

（1）已知菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)，我們定義菱形的“接近度”為這兩個內(nèi)角度數(shù)差的絕對值，于是，這個絕對值越小，菱形越接近正方形。請回答下列問題：

①若菱形的一個內(nèi)角為70°，則該菱形的“接近度”等于;

②當菱形的“接近度”等于時，菱形是正方形。

（2）已知矩形相鄰兩條邊的長，將矩形的“接近度”定義為相鄰兩條邊長差的絕對值，于是，這個絕對值越小，矩形越接近于正方形。請回答下列問題：

①你認為這種說法是否合理？為什么？

②如果你認為不合理，請你給出矩形“接近度”的一個合理定義。

例1中，“接近度”是學生完全沒有接觸過的概念。他們要理解這個概念，必須對菱形、矩形與正方形概念有深入的理解，這個理解過程需要邏輯思維;然后利用這個概念解決新的問題，即利用一般規(guī)則解決具體問題，這是典型的邏輯思維訓練。

（二）歸納思維訓練策略

1.對歸納思維進行專門訓練。

歸納推理屬于合情推理，即推出的結(jié)論不一定正確。因此，不像演繹推理有明確的推理規(guī)則，歸納推理并沒有嚴格的推理規(guī)則。

在對學生進行歸納推理的專門訓練時，可以參考G.波利亞提出的一個基本模型，利用實例給予說明。就數(shù)學中的歸納推理而言，如果僅限于對結(jié)論的檢驗，就可以利用如下模式表述：A蘊含B，B真，所以，A較可靠。也就是說，一個猜想的命題假如在新的特例中得到證實，就會變得更加可信。波利亞把這一模式稱為基本歸納模式。作為基本模式的對偶模式，有：B蘊含A，B假，所以，A較不可靠。也就是說，在作為猜想的可能依據(jù)被推翻時，我們對猜想的信任程度減小。

需要特別強調(diào)的是，不能給學生造成一種認識，即歸納出來的一般性結(jié)論似乎都是正確的。因此，在教學中，要提供一些反面的例子。

例2觀察下列式子，你得出了什么結(jié)論？（1+1）2+1=21+3×1，（1+2）2+1=22+3×2，（1+3）2+1=23+3×3，…。

例3判斷下列命題的正確性：當n為正整數(shù)時，函數(shù)f（n）=n2+n+41的值恒為質(zhì)數(shù)。

例4圓上有n個點，兩兩連線后，最多能將圓分為幾個區(qū)域？

上述例題有一個共同的特點：初始的若干項滿足某種共同的規(guī)律，但是這種規(guī)律只是一種偶然，從某一項開始便不再適用。教學中，對于這些問題，可以先讓學生嘗試解答，觀察學生在猜想后是否有主動驗證的意識;再讓學生進行證明，當學生在證明中遇到困難時，提醒學生對結(jié)論進行質(zhì)疑;最后對歸納的或然性、驗證的必要性進行總結(jié)。

除了上述“陷阱”類型的歸納問題，也可以設置結(jié)論不唯一的歸納問題。這同樣是對確定性的否定。另外，更為重要的是，要充分發(fā)揮歸納思維探索、發(fā)現(xiàn)的價值，讓學生建立起完整的由猜想到驗證的思維程序。

2.強調(diào)概念形成訓練。

歸納思維的關鍵在于，從若干特殊中看到一般。對于一組待歸納的元素，其具有的共性決定了歸納結(jié)果的屬性，而其具有的差異則制約了一般化的程度。對共性的認識尤其體現(xiàn)了歸納思維創(chuàng)造性的特征，因為不同對象之間的共性往往并不外顯，而表現(xiàn)為共享一種內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律。因此，可以從識別數(shù)學對象之間的共同特征入手，訓練歸納思維。

概念形成與概念同化是概念獲得的兩種基本形式。概念形成是指對同類事物中若干不同的例子進行感知、分析、比較和抽象，以歸納的方式概括出這類事物的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的方式。概念同化是指利用已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接提出概念并揭示其本質(zhì)屬性，主動地與原有認知結(jié)構(gòu)中的有關概念進行聯(lián)系，從而掌握概念的方式。顯然，概念形成是從特殊到一般的學習方式，概念同化是從一般到特殊的學習方式。因此，概念形成非常有利于培養(yǎng)學生的歸納思維。

例如，對于冪函數(shù)的概念，可以這樣設計教學：

（1）給出一組實例：y=x，y=x2，y=x12， y=x3，y=1x，y=x-2，…，讓學生觀察它們的共同屬性。

（2）讓學生提出這一組例子的共同成分的假設，并依據(jù)這些假設檢驗每一個例子。

（3）由學生通過分析、比較和概括，得出一般模式y(tǒng)=xα，并檢驗每一個例子是否都屬于這個模式。

（4）將這一表達式與學生學習過的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等有關概念聯(lián)系起來，不僅說明研究這一種新函數(shù)的意義，而且建立函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)，使學生形成新的認知結(jié)構(gòu)。

（5）給出冪函數(shù)的定義，并詳細解讀。

（6）由學生舉出正例、反例，對概念進行強化。

這樣的教學設計是典型的概念形成方式。經(jīng)常采用這種方式，可以提高學生觀察問題、概括問題的能力，進而訓練歸納思維。

3.突出解題概括訓練。

上面的概念形成教學方式是在訓練學生的概括能力。而在問題解決中，也可以訓練學生的概括能力。其中的概括主要包括兩個方面：（1）對知識的概括。面對一個問題，首先要確定問題的屬性，然后要選用解決問題的工具，即選用某個樣例或原理來解決問題。當前問題與樣例或原理之間無論是強抽象、弱抽象還是廣義抽象關系，都是一種概括過程，需要解題者概括出問題與樣例或原理的共同要素，才能實現(xiàn)有效的遷移。（2）對方法的概括。解決問題除了要用到某些知識外，還必然要用到某些方法，方法往往具有一般性，不僅可以用來解決一個問題，還有可能用來解決一類問題。選擇解決當前問題要使用的方法也是一個概括過程，更重要的是，解決了一個問題之后，要對這個問題進行歸類，把這個問題置于某種數(shù)學方法的統(tǒng)領之下，形成一種以方法統(tǒng)攝知識的體系。

解決問題重在對問題進行表征，以深入理解題意，尋找解決當前問題的遷移源，而不是盲目地“試誤”;重在對問題解決進行反思，以方法來對問題進行歸類。因此，教師要引導學生從問題中概括出具體的數(shù)學模式和方法。例如，列方程或不等式解應用問題，用排列或組合解應用問題等，就是一種模式和方法的概括。

例5已知實數(shù)x、y 滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，求1Smax+1Smin的值。

解決該題時，可以遷移運用或歸納概括一個解決一類問題的二元代換：對于任意實數(shù)x、y，總有x=12（x+y）+12（x-y），y=12（x+y）-12（x-y）;若令a=12（x+y），b=12（x-y），則有x=a+b，y=a-b。

令x=a+b，y=a-b，代入已知等式并化簡，得b2=513-313a2。由b2=513-313a2≥0，得0≤a2≤53。由S=x2+y2=（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）=2013a2+10130≤a≤53，容易求得Smax和Smin值……

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