高中數(shù)學(xué)“隱圓”問題的類型與解釋

汪生 余建國

摘要：“隱圓”（滿足一定條件的動點軌跡是圓或圓弧）問題的常見類型有“到兩定點距離之比為定值”“到兩定點距離的平方和為定值”“對兩定點的張角為定值”“到兩定點向量的數(shù)量積為定值”“到兩定直線距離的平方和為定值”。從代數(shù)和幾何兩個角度解釋，分別指向圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的原始定義（或基本性質(zhì)）。由此得到教學(xué)啟示：一方面，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考、聯(lián)系比較，進行多元表征，提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰度以及思維的靈活性;另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生集中分析、整合抽象，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概括度以及思維的深刻性。

關(guān)鍵詞：“隱圓”問題多元表征數(shù)學(xué)本質(zhì)

二、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)知識有很強的關(guān)聯(lián)性和高度的統(tǒng)一性。因此，在教學(xué)中，我們一方面，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考、聯(lián)系比較，進行多元表征，不拘泥于眼前的“樹木”，而關(guān)注到背后的“森林”，從而提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰度以及思維的靈活性;另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生集中分析、整合抽象，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，包括識別內(nèi)容屬性和掌握思想方法，從而提升認(rèn)知結(jié)構(gòu)的概括度以及思維的深刻性，最終促進學(xué)習(xí)遷移（舉一反三）。

（一）進行多元表征

數(shù)學(xué)知識的表征方式多種多樣，比如符號表征、語言表征、圖形表征、操作表征、情境表征等——當(dāng)然，最重要的還是幾何表征與代數(shù)表征。數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化更是豐富多彩的。希爾伯特說過：數(shù)學(xué)寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會起而代之。G.波利亞說過：如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進展。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要求“變”，引導(dǎo)學(xué)生“向四周看一看”，尋找不同的表征形式，建立多元表征體系，把零散的內(nèi)容（甚至看起來不太相關(guān)的內(nèi)容）銜接起來、組織起來。例如，對兩直線垂直，用斜率表征、用向量表征、用勾股定理表征。又如，對a+1a≥2（a>0）這一基本形式進行代數(shù)換元和幾何轉(zhuǎn)化，獲得更多的結(jié)論，命制不同的問題。

（二）挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

雖然數(shù)學(xué)知識的表征方式多種多樣，但是，數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)往往是統(tǒng)一的。多元表征是基礎(chǔ)，統(tǒng)一本質(zhì)是深入。在不同的表征方式中尋找內(nèi)在的關(guān)聯(lián)和線索，挖掘共同的本質(zhì)屬性，是“變中不變”哲學(xué)思想的體現(xiàn)。面對數(shù)學(xué)問題的“汪洋大海”，有時再多變化的表征，也只是“冰山一角”，而只有挖掘出不變的本質(zhì)，才能“一覽眾山小”，更好地實現(xiàn)問題的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要求“通”，引導(dǎo)學(xué)生“向前面走一走”，尋找深層的數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立統(tǒng)一本質(zhì)認(rèn)識，把根本的屬性挖掘出來、提煉出來。例如，對于“f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，設(shè)方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)根的個數(shù)為m，求m的最小值”這一問題，要深刻認(rèn)識到函數(shù)周期性和奇偶性的本質(zhì)，即解析定義和圖像特征，才能順利解決。

參考文獻：

[1] 周濤.關(guān)注幾何性質(zhì)，透析命題視角——以“阿波羅尼斯圓”為例[J].教學(xué)月刊（中學(xué)版），2013（1）.

[2] 劉密貴.登高遠望好風(fēng)景，圓角關(guān)系一線牽——《與圓有關(guān)的角》教學(xué)與思考[J].教育研究與評論（課堂觀察），2019（3）.

[3] 任念兵.基于核心概念的高中“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)再探——以《欣賞向量》為例談“數(shù)學(xué)欣賞”的結(jié)構(gòu)層次[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（12）.

[4] 皮連生.教育心理學(xué)（第四版）[M].上海：上海教育出版社，2011.