數學深度學習的內涵及基本實踐問題

摘要：數學深度學習有高投入、高認知、基于任務情境、指向數學核心素養等內涵。數學深度學習實踐中有一些經常出現的問題需要辨析：深度學習不等于簡單地增加學習難度，而是要增強處理問題過程的思維復雜性，從而探尋數學內容的核心與本質;深度學習不等于不需要內容的廣度，而是要“以深度帶廣度”，從而“為遷移而教”;數學基礎知識也需要深度學習，要以“不簡單”的任務反襯“基礎”的重要性;學業水平落后的學生也需要深度學習，要為他們循序漸進地設置思維進階的問題。

關鍵詞：數學深度學習難度廣度基礎知識落后學生

近年來，數學課堂中的“深度學習”研究與實踐漸成趨勢，其中也出現了一些認識誤區。如不及時厘清數學深度學習的內涵及認識誤區，將使數學深度學習的實踐僵化、泛化甚至異化。本文試對數學深度學習的內涵及教學實踐中經常出現的問題做一些解讀和辨析。

一、數學深度學習的內涵解讀

德國教育家赫爾巴特認為：真正的學習與課程，意味著登山式的挑戰與沖刺。同樣地，數學教學不能總是讓學生在舒適的山谷中游蕩，而要讓學生練習攀登山峰、掠過草地與沼澤，獲得廣闊的視野。任何沒有深度、沒有思維含量的學習內容都不能引發學生的學習興趣，提升學生的學習品質。

實踐探索中，我們這樣理解數學深度學習：在教師創設的具有挑戰性的問題情境中，學生全身心地投入、高階認知參與的有意義的學習過程。具有挑戰性的問題情境意味著經過加工整合后的素材復雜性的增強;學生學習不能僅僅記知識、仿技巧、套題型，而需要具身參與、運用高階思維，在此過程中理解數學核心知識，掌握數學本質和方法，把握數學思維方式，并形成積極的內在動機和正確的價值觀念，從而獲得自身素養的全面發展。

數學深度學習有這樣的內涵：一是高投入，即全身心地投入。情緒和認知是相互關聯的，數學深度學習的表現是好奇、期許、興奮、少許的迷惑、些許的遺憾、會心的歡笑等等。二是高認知，即以理解為起點。數學深度學習是觸及知識核心和本質，探查知識之間的相互聯系，基于理解，更多地關照分析、評價與創造層面的高階思維的學習。三是基于任務情境，即通過真實情境的任務驅動，在數學活動中解決問題。數學深度學習需要教師在單元整體設計的基礎上，將教學內容任務化，任務問題化，問題情境化。四是指向數學核心素養，或者說指向數學的本質聯系及思想方法。數學核心素養的屬性決定了其習得必然依賴于深度學習;而數學核心素養一旦形成，又會有力地支撐深度學習——兩者是相互加強的互動循環關系。指向數學核心素養，使深度學習有了超越解題的目標旨歸，讓數學學習真實發生。

二、數學深度學習教學實踐中經常出現的問題辨析

（一）數學深度學習就是增加學習難度嗎？

深度與難度是兩個不同的概念：深度是觸及知識核心與本質的程度，而難度則是完成學習內容的困難程度。有深度的課堂不一定難度大;相反地，難度大的課堂不一定有深度。數學深度學習不是加大學習內容的難度，讓學生感到沮喪進而失去學習的主動性;相反地，正是通過提升問題的復雜性，讓學生增進學習的興趣并且理解相關內容的本質。如果認為數學深度學習就是加大學習難度，就有可能出現這樣的現象：教師為了在有限的時間內完成教學，盡快地將自己對知識和方法的理解，以自認為結構化的方式傳輸給學生，使學生的學習從以往的“課上記筆記，課下練筆記，考試套筆記，考后全忘記”變成“課上記模型，課下練模型，考試套模型，考后全無形”。

當然，數學深度學習是在經過精心加工的、具有挑戰性的問題情境中發生的，旨在激發學生的學習意向，讓學生觸摸數學知識的核心與本質。指向深度學習的數學問題難度會適當增大，它往往表現為處理問題過程中思維復雜性的增強，這是探尋數學內容核心與本質的必需。

比如，在“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”的教學中，有這樣的情境：“甲、乙兩商場的某款西裝和領帶定價都是800元/套和100元/條。促銷活動期間，甲商場的優惠方案是：買一套西裝送一條領帶;乙商場的優惠方案是：西裝和領帶均打9折。某公司欲購買20套西裝和多于20條領帶?！?/p>

對此，如果轉化為這樣的問題：（1）設購買x條領帶，在A商場購買一共需付y1元，在B商場購買一共需付y2元，請分別寫出y1、y2與x的函數關系式;（2）你能借助函數圖像，說明選擇哪家商場更合適嗎？這兩個問題就是常規、封閉、操作性的淺層次學習問題。

而如果分解成這樣的問題：（1）購買30條領帶，選擇哪家商場更合適？45條呢？（2）該公司到底選擇哪家商場更合適？請給出方案。（3）丙商場同款西裝、領帶定價和甲、乙商場都相同，它的優惠方案是：送10條領帶，其余領帶打8折。此時選擇哪家商場更省錢？這個問題串就具有非常規、開放性和思辨性的特征：問題的復雜性增加，使得沒有現成的解決方法可供借鑒，并且解決的方式不唯一。

在方法的比較和評價過程中，學生能夠體會到“抽象數學問題，建立函數模型”可以更直觀地解決問題，從而實現由常量數學向變量數學的飛躍。

（二）數學深度學習就不需要內容廣度嗎？

相比于接受式的淺層學習，發現式的深度學習需要花費更多的時間，因此，常會出現“課堂容量不足”的現象。但是，這并不意味著數學深度學習就不需要內容廣度?！独献印酚性疲骸盀閷W日益，為道日損;損之又損，以至于無為，無為而無不為。”對于數學學習而言，不能僅僅滿足于具體知識的學習和“一題一法”小技巧的獲得，更要追求蘊藏在知識與技能中數學思想的提煉和數學思維的錘煉，最終升華為通徹。華羅庚先生在指導青少年兒童時說：“‘化’了以后能夠用，能夠活用，能夠適應各種各樣具體情況來活用。”這里，“化”的標志就是知識和方法的遷移。

少即是多，慢即是快，通徹的東西是具有遷移能力的。數學深度學習正是在“以深度帶廣度”的過程中獲得遷移能力，不斷體現和發展數學的基本素養。

比如，有這樣一道題：如圖1所示，正方形ABCD的面積為25，正方形EFGD在它旁邊，且A、E、D和C、D、G分別共線，連接AF、CF、AC，求△ACF的面積。初中生解決這個問題常用的方法是：設正方形EFGD邊長為a，則S△ACF=5×（5+a）-12×25-12a（5-a）-12a（5+a）=12.5。教學若到此為止，則著實可惜。

教師應該引導學生多角度思考：△ACF的面積是正方形ABCD的一半，是偶然還是必然？從而得到這樣幾種方法：（1）設正方形ABCD的邊長為b，列式后得到S△ACF=12b2=12S正方形ABCD;（2）如圖2，延長FE，分別交AC、BC于點I、J，S△ACF=12FI·AE+12FI·CJ=12FI（AE+DE）=12FI·AD，因為FI=CD，所以S△ACF=12CD·AD=12S正方形ABCD;（3）如圖3，連接FD，FD∥AC，所以S△ACF=S△ACD=12S正方形ABCD。

上述學習過程花費時間較多，但是學生經歷了“發現問題—猜想結論—多角度論證”的過程，發現問題的眼光得到鍛煉，從復雜到簡單（從抽象到直觀）理解結論的方法得到激活。以上三種方法是數學問題解決的基本方法。方法1顯示了字母代替數的一般性價值;方法2不同于方法1的“補”，而是“割”，它們都是求解圖形面積的基本方法;方法3能更直觀地發現結論。一個問題“想”明白了才是真的“懂”了，深刻體驗、深層理解這些方法才能產生遷移以解決更復雜問題的能力。

（三）數學基礎知識不需要深度學習嗎？

數學基礎知識因為其綜合性較弱，往往被等同于簡單知識。事實上，“基礎”不等于“簡單”，不能膚淺理解和機械訓練;它是一種必需和奠基：復雜的數學問題解決不了的原因很多時候是對基礎知識的理解不夠深刻、運用不夠靈活。從這個意義上來說，基礎知識更需要經過深度學習的過程，以此深刻理解其從何而來、去往何方以及在問題解決過程中的價值。

數學深度學習之于基礎知識，需要從單元整體的角度加以整合，以“不簡單”的問題反襯“基礎”的重要性。

比如，蘇科版初中數學七年級上冊《代數式》一章最后一節《整式的加減》中，有整式加減法則“有括號先去括號，再合并同類項”這一基礎知識。因為此前學生已經用兩個課時分別學習了“合并同類項”和“去括號”，有教師就上成了練習課。一節課練下來，50個學生的班級里有40多個學生能夠準確地進行整式加減運算，但是一段時間后，可能只有30個左右的學生還能準確地進行整式加減運算，而基本上極少有學生能利用整式的加減解決問題。

因此，應該換一種教學方式。首先，提出問題：一個兩位數，交換它的十位數字與個位數字，得到一個新的兩位數。研究這兩個兩位數的和，你有什么發現？能解釋一下你的發現嗎？嘗試幾個數字后，有學生意識到和是11的整數倍。但是，怎么解釋呢？有學生用生活語言進行了說明：“顛倒十位與個位再相加，和的個位與十位是一樣的，所以是11的整數倍。”但是，39+93的個位與十位數字之和都大于10，好像解釋不通了。有學生試圖盡可能多地舉例，發現和都是11的整數倍，但是難以窮盡……自然語言難明其理，小學算術難以窮盡，就得有新的方法出現。有學生設原來十位和個位分別是x和y，得到（10x+y）+（10y+x）=11x+11y，結論不言而喻。那這兩個數的差呢？這次，學生迅速得到（10x+y）-（10y+x）=9x-9y，結論一目了然。然后，引導學生體會新方法的產生過程：用字母表示數，列代數式，將代數式化簡。指出：“這里化簡的實質就是整式加減?？磥碚郊訙p是問題解決過程中很重要的一步，有必要進行研究。”接著，讓學生再舉幾個整式加減的例子，經歷多個整式加減的運算過程，總結化簡整式的方法：有括號先去括號，再合并同類項。最后，引導學生總結自己本節課的發現經過：假設—否定—再假設—再否定—再假設……

沒有解題的套路，只有不斷地分析、評估、理清自己看問題的一般思路;將自己學過的知識遷移來解決一個開放的問題，對于學生而言就是創造“新方法”的過程。因此，學生獲得的不僅是知識，還有知識以外的深刻經歷：感悟具體知識中蘊含的數學思想方法，探究問題解決的核心策略，體驗數學的思維方式。

（四）學業水平落后的學生不需要深度學習嗎？

數學學業水平落后的學生常被認為不需要數學深度學習，理由是他們掌握基本的數學知識、技能，并在數學解題的過程中加以回憶和使用，就已經很不錯了。事實上，這樣的學生更需要通過深度學習獲得數學思想方法、思維方式和理性精神，以此適應未來的生活和工作。部分學生正是因為通過機械模仿式的“低投入”學習獲得“高產出”的分數，導致學業水平落后：當學業難度較低時，通過簡單記憶和操練就能獲得分數，由此養成了不良的學習習慣;當學業難度加大時，就會產生畏難情緒，難以開啟思維。部分學生只是數學基礎相對欠缺，但是具有較好的開放性和發散性思維，在問題解決過程中表現出的分析、評價和創造層面的思維能力有時并不輸于學業水平較高的學生。還有部分學生正是因為在低水平的學習任務上消耗了大量的時間和精力，同時也消耗了學習的興趣，從而在數學學業水平上顯得落后。

對于數學學業水平落后的學生，教師不能一味地設置淺層次的學習問題，以貌似迎合學情，而要從學生的已有知識儲備和能力基礎出發，循序漸進地設置思維進階的問題。

比如，教學“探究y=6x的圖像及性質”時，教師通常設計任務：請將表格補充完整，并在平面直角坐標系中描點、連線，畫出反比例函數y=6x的圖像。面對這樣的任務，學生無須靈活、批判、創造性地思考，只需將以往現成的知識搬運填寫。

其實，可以這樣設計問題：（1）（由數猜形）你能由反比例函數y=6x的表達式，猜想這個函數的圖像可能具有哪些特征嗎？在平面直角坐標系中大致（無須精確）畫出你認為的可能的“樣子”。（2）（為數配形）類比一次函數圖像的作法，通過列表、描點、連線的方式，在平面直角坐標系中畫出反比例函數y=6x 的圖像。（3）（數形結合）將問題（1）和問題（2）聯系起來看，問題（1）中的一些結論還成立嗎？反比例函數y=6x 的圖像還有哪些特征？（4）（聯想遷移）你能快速畫出y=-6x的圖像嗎？在問題（2）的平面直角坐標系上畫出。

上述問題設計有明顯的不同層級思維的要求，使得不同層次的學生都有發揮自己思維特長，獲得相應結果的機會。觀察、聯想、描述、驗證、概括、推演、應用，這一系列的思維過程能很好地鍛煉學生思維的靈活性、創造性和批判性。

當然，數學深度學習教學實踐中需要厘清的問題還有很多。比如，數學深度學習不等于所有的教學及評價都要著眼于深入的理解;對于特定的課程內容和年齡階段，需要選擇合適的深入程度。這些還需要我們在實踐中不斷深入思考和辨析。

參考文獻：

[1] 孫學東，周建勛.數學“深度學習”是什么？常態課堂如何可為？[J].中學數學教學參考（中旬），2017（5）.

[2] 華羅庚.華羅庚科普著作選集[M].上海：上海教育出版社，1997.