數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不應(yīng)滑向難度糾纏

唐榮喜 浦?jǐn)⒌?/p>

摘要：深度學(xué)習(xí)是觸及知識(shí)本質(zhì)，伴隨應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)不應(yīng)等同于難度提升，也不能滑向難度糾纏。通過《字母表示數(shù)》《絕對值與相反數(shù)》《去括號(hào)》三課的設(shè)計(jì)中反、正對比的案例，剖析難度糾纏誤區(qū)，給出深度教學(xué)建議：盲目提升教學(xué)難度，是揠苗助長，不可取;努力挖掘教學(xué)深度，能發(fā)展素養(yǎng)，有可為;難度提升與深度挖掘不可混。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)難度糾纏教學(xué)診斷學(xué)生實(shí)際教學(xué)目標(biāo)

核心素養(yǎng)是當(dāng)前基礎(chǔ)教育理論與實(shí)踐研究的重點(diǎn)。在尋求數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地路徑的過程中，深度學(xué)習(xí)理論受到廣大數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注和青睞。但在具體的教學(xué)實(shí)踐中，有一種認(rèn)識(shí)和現(xiàn)象值得我們反思和糾正。在追求深度學(xué)習(xí)的過程中，有些教師不顧學(xué)生實(shí)際，設(shè)置復(fù)雜情境或思維障礙，甚至偏離教學(xué)目標(biāo)，超前教學(xué)，僅為增加問題解決的困難程度。這是對深度學(xué)習(xí)極大的誤解。深度學(xué)習(xí)是觸及知識(shí)本質(zhì)，伴隨應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)。深度學(xué)習(xí)不應(yīng)等同于難度提升，也不能滑向難度糾纏。下面，通過三個(gè)反、正對比的案例，剖析難度糾纏誤區(qū)，給出深度教學(xué)建議。

一、教學(xué)案例

【案例1】蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊《3.1 字母表示數(shù)》一課“拓展與提升”環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)1填空：

（1）一件工作，甲獨(dú)做需要9小時(shí)完成，乙獨(dú)做需要6小時(shí)完成，甲、乙合做x小時(shí)（0<x<3.6）后，剩下的工作由乙單獨(dú)完成，乙還需______小時(shí)才能完成此項(xiàng)工作。

（2）甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B兩地間做往返運(yùn)動(dòng)，若甲的速度是a km/h，乙的速度是b km/h，A、B兩地間的路程是s km，則經(jīng)過______小時(shí)后，兩人第二次相遇。

（3）一件商品按標(biāo)價(jià)打8折，再降價(jià)10元后的售價(jià)為a元，則這件商品原來的標(biāo)價(jià)為______元。如果按標(biāo)價(jià)出售該商品獲得的利潤為b元，則按降價(jià)后的價(jià)格出售該商品獲得的利潤為______元。

設(shè)計(jì)2請你思考下列問題：

（1）一張桌子4條腿，兩張桌子______條腿，3張桌子______條腿，n張桌子呢？這里的n有何意義？

（2）電影院里第一排有12個(gè)座位，后一排總比前一排多1個(gè)座位，則第二排有______個(gè)座位，第三排有______個(gè)座位，如何表示每一排座位數(shù)的情況呢？

（3）心中任意想一個(gè)數(shù)，將它乘以3，加上6，再除以3，接著減去原來想的數(shù)，最后減去5，把你的答案與小組成員交流一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？試著加以說明。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從丟番圖用縮寫字母表示數(shù)到韋達(dá)用字母表示一般意義上的數(shù)經(jīng)過了1200年，可見，對“字母表示數(shù)”一般性的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了艱難的過程。而學(xué)習(xí)過程是一種“再創(chuàng)造”的過程，因此，引導(dǎo)學(xué)生對“字母表示數(shù)”一般性的感悟才是本節(jié)課真正的教育價(jià)值，即應(yīng)有的教學(xué)目標(biāo)所在。

設(shè)計(jì)1在題目的難度上進(jìn)行拓展。第1題屬于工程問題，需要將總工程量看作單位“1”，技巧性強(qiáng);第2題屬于路程問題，數(shù)量關(guān)系隱蔽，需要理解第二次相遇時(shí)兩人走的路程之和為3skm，思維要求較高;第3題屬于商品銷售問題，涉及銷售相關(guān)的名詞，需要足夠的社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)才能理解。3道習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系均較為復(fù)雜，使理順數(shù)量關(guān)系成為教學(xué)難點(diǎn)，弱化了本節(jié)課的教學(xué)主題，不利于本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。可以說，設(shè)計(jì)者理解的深度學(xué)習(xí)滑向了難度糾纏。

設(shè)計(jì)2在學(xué)習(xí)的深度上進(jìn)行挖掘。第1題引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，初步感悟字母n的意義，認(rèn)識(shí)字母n表示物體數(shù)量時(shí)的普遍性和抽象性;第2題引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)字母表示數(shù)的抽象性和簡明性;第3題引導(dǎo)學(xué)生自覺用字母表示數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，培養(yǎng)學(xué)生用字母表示數(shù)的抽象思維和應(yīng)用意識(shí)。3個(gè)問題由淺入深，由特殊到一般，逐步引領(lǐng)學(xué)生了解用字母表示數(shù)的發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維，深化了本節(jié)課的教學(xué)主題，促進(jìn)了本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。可以說，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是深度學(xué)習(xí)的理想與追求。

【案例2】蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊《2.4 絕對值與相反數(shù)》第1課時(shí)“拓展與提升”環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)1填空：

（1）如果|a-2|+|b-3|=0，則a+b=______。

（2）若|2x-1|=3，則x=______。

（3）對于任意數(shù)x，|x-1|+|x-4|的最小值為______。

設(shè)計(jì)2思考以下問題：

（1）如果a為任意數(shù)，那么a的絕對值表示什么數(shù)？請用符號(hào)表示，并借助數(shù)軸說明理由。

（2）觀察圖1中的數(shù)軸，比較大小：|a|______|b|，并說明理由。

（3）如果|a|>|b|，那么a>b嗎？請借助數(shù)軸加以說明。

（4）如果|x|=2，那么x的值為多少？

根據(jù)蘇科版教材的編寫意圖，本節(jié)課的教學(xué)要求是：能借助數(shù)軸，說出絕對值的意義;知道|a|的含義，經(jīng)歷將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。而剛步入初一年級(jí)的學(xué)生仍然以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維仍有不足，因此，本節(jié)課應(yīng)該更多地依賴直觀，借助數(shù)軸，讓學(xué)生理解絕對值的概念、性質(zhì)。

設(shè)計(jì)1第1題需要綜合運(yùn)用絕對值的非負(fù)性分別求出a與b的值，再求出a+b的值;第2題需要根據(jù)絕對值的意義，逆向思考，得出2x+1=±3，分別解方程求出未知數(shù)的值;第3題首先需要弄清|x-1|和|x-4|的幾何意義，然后需要考慮表示x的點(diǎn)在不同位置時(shí)|x-1|+|x-4|的值的比較，再求出當(dāng)1≤x≤4時(shí)，|x-1|+|x-4|的值最小，為3。這些題目明顯難度過大，對學(xué)生抽象思維、綜合分析及運(yùn)算能力的要求過高，超出了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和要求。特別是，過早地涉及了代數(shù)式、代數(shù)式的值、代數(shù)式的絕對值等知識(shí)，超出了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

設(shè)計(jì)2第1題要求結(jié)合絕對值的幾何意義，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)絕對值的非負(fù)性，且能培養(yǎng)符號(hào)意識(shí);第2題要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，觀察數(shù)軸、綜合分析做出判定;第3題要求借助數(shù)軸的直觀性，分情況說明a與b的大小;第4題要求根據(jù)一個(gè)數(shù)的絕對值，合理想象數(shù)軸上點(diǎn)的位置，再求出原數(shù)。這樣的設(shè)計(jì)緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，借助數(shù)軸加深對絕對值的認(rèn)識(shí)，著力培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、符號(hào)意識(shí)、推理能力與創(chuàng)新意識(shí)等素養(yǎng)。

【案例3】蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊《3.5 去括號(hào)》一課“反思與提升”環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)1完成以下問題：

（1）計(jì)算：2x-{3-2[x2-3（4x-1）]}+3x2。

（2）若a2+2b2=3，2a2-3b2=5，求-a2+12b2的值。

設(shè)計(jì)2對于下列式子中的括號(hào)，我們在學(xué)習(xí)今天的“去括號(hào)法則”之前是如何去的？說說你的依據(jù)，并認(rèn)真體會(huì)它與“去括號(hào)法則”的一致性。

-（-a），

+（-a）;a-（-b），

a+（-b）;+（2a-b），

-（2a-b）。

設(shè)計(jì)1第1題人為地設(shè)置了煩瑣的計(jì)算，思維價(jià)值不大。教材都在有意回避這樣的計(jì)算。第2題技巧性強(qiáng)，要求學(xué)生逆向思考，通過添括號(hào)，將-a2+12b2用含a2+2b2和2a2-3b2的代數(shù)式來表示，得-a2+12b2=3（a2+2b2）-2（2a2-3b2），再整體代入求值。這樣的訓(xùn)練略顯倉促，有囫圇吞棗、急于求成之嫌，可以等到學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的加減，對“式結(jié)構(gòu)”有了充分的感知、理解后再進(jìn)行。

設(shè)計(jì)2第1組式子可以根據(jù)相反數(shù)的意義，得-（-a）=a，根據(jù)“一個(gè)數(shù)前的‘+’可以省略”，得+（-a）=-a;第2組式子可以根據(jù)有理數(shù)減法法則“減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，得a-（-b）=a+b，同樣，根據(jù)減法法則，得a-b=a+（-b），即a+（-b）=a-b;第3組式子可以根據(jù)乘法分配律，得+（2a-b）=2a·（+1）-b·（+1）=2a-b，-（2a-b）=2a·（-1）-b·（-1）=-2a+b。這樣的設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生分別運(yùn)用相反數(shù)與“+”的意義、有理數(shù)減法法則、乘法分配律去括號(hào)，感受不同方法下計(jì)算結(jié)果的一致性，理解去括號(hào)法則實(shí)質(zhì)是以上各種方法的概括，建構(gòu)前后貫通、相互聯(lián)系、渾然一體的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、反思與感悟

（一）盲目提升教學(xué)難度——揠苗助長，不可取

課堂教學(xué)應(yīng)該依據(jù)學(xué)生實(shí)際和教學(xué)目標(biāo)，合理把控內(nèi)容難度。為了滿足學(xué)生個(gè)體的學(xué)習(xí)需求，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，適時(shí)、適當(dāng)?shù)靥嵘虒W(xué)難度是應(yīng)該的。但是，難度的提升不能脫離學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要緊扣學(xué)生思維的生長點(diǎn)，創(chuàng)造合適的思維場，讓學(xué)生的思維自然生長;難度的提升要有利于落實(shí)既定的教學(xué)目標(biāo)，不能鉆牛角尖，迷失方向;難度的提升還要遵循循序漸進(jìn)的原則，把握時(shí)機(jī)、巧設(shè)階梯、分散難點(diǎn)、有效突破，不能超前灌輸和訓(xùn)練。

（二）努力挖掘教學(xué)深度——發(fā)展素養(yǎng)，有可為

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)不是對知識(shí)的簡單記憶和模仿訓(xùn)練，而是基于知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)、整體特性、教育價(jià)值，從知識(shí)學(xué)習(xí)走向意義系統(tǒng)和思維方式的理解和領(lǐng)悟。為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，教師要善于將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，挖掘知識(shí)背后內(nèi)隱的結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想觀念、教育價(jià)值等，觸及知識(shí)的核心與本質(zhì)、過程與方法，積極引導(dǎo)學(xué)生開展應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維活動(dòng)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教材在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，由于文本及表達(dá)的局限性，往往會(huì)將相關(guān)知識(shí)的深層內(nèi)涵“隱藏”起來。如案例1《字母表示數(shù)》這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)就是一種隱形的目標(biāo)（對學(xué)生內(nèi)在觀念與認(rèn)識(shí)層面的要求），主要體現(xiàn)在對“字母表示數(shù)”一般性的感悟和理解上。對于本節(jié)課，教師在培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性和引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)上大有可為。

（三）難度提升與深度挖掘——不可混

深度與難度是兩個(gè)不同的概念：深度是觸及知識(shí)核心與本質(zhì)的程度，而難度則是完成學(xué)習(xí)內(nèi)容的困難程度。優(yōu)秀的課堂一定是有深度的，但不一定是難度大的。深度學(xué)習(xí)不是在枝節(jié)內(nèi)容上加大難度，而是對主干內(nèi)容的內(nèi)涵與價(jià)值深度挖掘、加工，促成真實(shí)的經(jīng)歷、感受與探究，讓知識(shí)、方法與觀念自然生長。深度學(xué)習(xí)不是把簡單問題復(fù)雜化，而是通過意義系統(tǒng)和思維方式的理解與領(lǐng)悟，實(shí)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)化和自我建構(gòu)。其實(shí)，很多簡單的問題背后也有深度思考的價(jià)值。在處理簡單題時(shí)，教師如果能夠引領(lǐng)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生經(jīng)歷思維的生長過程，理解內(nèi)容結(jié)構(gòu)，感悟思維方法，長此以往，學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力會(huì)得到極大的提高。為此，教師應(yīng)深入研讀教材，研究問題，獲得深度的理解與領(lǐng)悟，才能做好學(xué)生深度學(xué)習(xí)的引路人。

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