從STEM教育視角看折紙

常文武

摘要：隨著計算機輔助設計和互聯網的發展，折紙這項古老的藝術也迅速現代化，被多學科的科學家、技術員、工程師所關注，形成了一個新的STEM門類，在跨學科教育領域煥發出新的生命力。通過鱉臑和爬坡陀螺兩個案例，管窺折紙之于數學教育和科學教育的可能與價值，說明折紙不但是當之無愧的STEM教育優良載體，而且在投入產出比方面還優于已有的STEM教育項目。

關鍵詞：折紙STEM教育鱉臑爬坡陀螺

簡便易行的折紙活動通常僅被視為傳統的手工游戲。但是，隨著計算機輔助設計和互聯網的發展，折紙這項古老的藝術也迅速現代化，被多學科的科學家、技術員、工程師所關注，形成了一個新的STEM門類，在跨學科教育領域煥發出新的生命力。

審視中國，STEM教育正在如火如荼地展開，各地創新實驗室四處開花。但是，里面通常只能找到一些電子設備，如機器人編程和3D打印等——雖然上海市中福會主辦的上海市青少年STEMx實踐展示交流活動在5年前就將創意疊紙納入為賽事項目之一。

環顧世界，折紙正在把它藝術的根系延伸到科學、技術、工程和數學等領域。芬蘭的動手課上充滿了用平凡的紙張制作的模型。以色列的小學生長期以來在用折紙學習幾何學。美國MIT的工程師在給大學生開折紙算法課。折紙技術被用在太空望遠鏡鏡片的折疊設計和人造血管支架的設計上。玩具設計師和時裝設計師都在折紙中尋找創作的靈感……

下面，從數學和科學的角度提供兩個案例，說明折紙不但是當之無愧的STEM教育優良載體，而且在投入產出比方面還優于已有的STEM教育項目。

一、折紙讓數學更加親和

傳統觀點認為（甚至統計數據也表明），數學是女生不太擅長的。但折紙往往是女生較為喜歡參與的活動。上海市第三女子中學的顏雯婕老師引領學生通過折紙學習立體幾何。她們的實踐表明，女生在折紙活動中找到了立體感，比以前更愿意嘗試解決相關的數學問題。

下面，以筆者設計的一款折紙教具——鱉臑（這款教具于2016年獲得教育部裝備中心頒發的“優秀教具獎”，于2018年被納入臺灣高中數學課外讀物《折紙學數學》中）為例，談談利用折紙教學立體幾何的可能性與價值。

這款教具取名為鱉臑，是因為這個結構在《九章算術》里被稱為鱉臑。《九章算術》“商功”章給出了塹堵、陽馬和鱉臑的概念及體積計算公式。塹堵是底面為直角三角形的直棱柱，陽馬是底面為長方形、一條棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑是四個面均為直角三角形的三棱錐。若斜剖正方體，就得兩塹堵;若斜剖塹堵，就得一陽馬和一鱉臑。塹堵、陽馬和鱉臑都可看作線面垂直的模型。2015年湖北高考數學卷就曾以此為背景命題。

不過，即使是專門研究數學史的華東師范大學汪曉勤教授，也認為鱉臑實物模型并不尋常。那么，怎么用折紙來實現這個稀罕物呢？以下便是具體的取材、折疊過程：

1.從一張A4紙出發，沿著長邊剪去一條寬度為7 cm（短邊長的13）的紙條，用剩余的23張紙完成折疊。

2.將剩余的紙條沿著長邊三等分折疊（如圖1）。

3.將左上及右上兩個直角折向三等分線，得到一個“帳篷”（如圖2）。

4.將左下角和右下角折向相應的三等分線，得到一個“紡錘”（如圖3）。

5.將左邊頂層紙過頂點向下對折，使折痕恰為該直角的平分線（如圖4）。

6.折出中心區域長方形的一條對角線（如圖5）。

7.沿著第6步折出的對角線將左側的紙折起，同時，拉出第5步折起的直角梯形，將其藏入右邊大三角形的銳角處（如圖6）。

8.將第7步中散開部分上方的四邊形前端伸入三角形洞口，整理平整作品（如圖7）。

作品完成了，但真正的探索才剛剛開始。《九章算術》里還有兩個不易理解的結論：“合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬成一立方。”為了理解“合兩鱉臑成一陽馬”（這一句最難理解，因為學生對立體圖形的“面對稱”認識不深;后一句稍好理解，因為學生知道等底、等高的情況下柱體體積是錐體的3倍），我們要做一個鏡像對稱的另一種鱉臑：將上面第5步改為折出右邊頂層直角的平分線，第6步改為折出中心區域長方形的另一條對角線;第7、8步相應做鏡像對稱。為了正確“拼合”兩個鱉臑組成一個陽馬，我們需要嘗試將哪兩個面做拼合面：可以發現，只有將兩個非等腰的直角三角形面拼合，才能得到一個陽馬。

通過以上實際制作和拼合的實踐可見，對于這個數學史典籍中的立體模型的認識，動手是理解相關概念、內化相關知識的必由之路。汪曉勤教授HPM工作室的高振嚴老師和何偉淋老師曾經在他們合作開發的“線面垂直判定定理”課例中引入過鱉臑模型，而臺灣鳳山高中的連崇馨老師曾經借助于這個鱉臑教具開發出“三垂線定理”（線面垂直判定與性質的綜合應用）的一個授課教程。

其實，從折紙活動本身中，學生也可以得到自我教育。經過多次失敗，學生能夠充分體會到“折疊精準方能拼合緊密”的道理，進而在不知不覺中形成做事要精益求精的價值觀。

二、折紙讓科學不再神秘

爬坡陀螺是一款有趣的體現物理原理的科普教具。將一個雙頭尖的錐體放在一個“V”形軌道低處的尖端上，它就會向著高處的開口端滾去。這個現象看似有悖于常識，但是恰恰符合了水往低處流的重心下降原理。

馬來西亞資深科普教育家張寶幼女士曾編撰過一本科普書，收錄了這款紙質魔術道具的制作方法。

然而，如果按照這本科普書的制作方法，就需要在錐面上用膠粘貼眾多細小的腳。在曲面上用膠以及粘貼的部分太過細小，會導致不易粘牢，頗費周章。如果能夠借鑒其他的紙模成型技術，用卡榫的方式連接，就可以變得更牢靠、更便捷和更有趣了。筆者實際操作后發現效果確實不錯，在此簡要敘述一下制作過程：

1.將一張較厚的A4紙（≥180克）兩次對折，得到一個十字交叉的中心。繼續對折每個90°角狀區域，得到8個45°角狀區域。如此細分下去，得到16個等分角狀區域。將這些角狀區域收攏壓平，切出近似的圓形紙片（如圖8，切痕為直線時實際為正16邊形）。

2.將得到的近似圓面沿一道折痕切分成兩個半圓（如圖9）。

3.如果僅靠每個半圓的8個等分角狀區域來制作圓錐（實際上是棱錐），那么它的滾動性不夠好，所以還需要繼續細分。通過不斷的對折，將每個等腰三角形的頂角4等分（如圖10，實際操作時可以將重點放在邊緣部分的等分折疊上）。

4.用圓規（或折疊的方法）在離邊緣約1 cm的地方作一個同心的半圓。間隔地剪開16個“∧”形缺口（如圖11），使得兩個相鄰缺口之間形成一個燕尾狀的紐襻，從而產生隨后兩個圓錐互相卡扣的榫頭。

5.將每個半圓兩邊黏合，使重疊部分正

好有一端的首個榫頭覆蓋另一端的首個榫頭（π16弧度角）。將錐體的15個尖角內折，15個燕尾榫頭外折（如圖12）。

6.讓兩個錐體的接縫盡量處于接口圓的直徑兩端（保持重心位于幾何中心），以尖角內折處為卯眼，將燕尾榫頭置入。利用紙的柔韌性，只需將兩個錐體相對且毗鄰的榫頭互換前后關系即可（如圖13）。

在爬坡陀螺的制作過程中，學生可以體驗到圓錐的展開以及卡榫結構類似拉鏈的功能和特性。

有了爬坡陀螺這款教具，便可設計教學活動，引導學生認識這種結構在“V”形軌道上的怪異行為。從中間打開一本雜志，將張開的角度調至約120°;將其立于一個斜面上，使書脊位于斜坡的低處，開口朝向斜坡的高處;將爬坡陀螺放在書脊處（如圖14，這里利用了

椅子面的斜坡）。松手后，爬坡陀螺就會向開口處滾去。用一把直尺測量爬坡陀螺啟動時的尖端高度以及滾落軌道時的尖端高度，二者之差一定是正值。

三、從STEM教育視角看折紙

STEM教育的精神就是依托跨學科探究，

實現多學科融合，培養創新意識和問題解決能力。在合理的難度設計下，各個年齡段的學生都可以在動手操作中體驗到STEM教育的神奇魅力。

以上兩例僅是大量體現STEM教育精神的折紙活動的典型代表。第一個案例主要體現了數學模型與工程結構的融合。該案例后續還有很多可探究的地方，如更一般的鱉臑如何折制。第二個案例則體現了科學原理與工程結構的融合。重心向下移動才能釋放勢能產生動能，通過測量和比較可以發現，運動體實際上是在向地心方向移動;拉鏈的結構用在紙模上，是問題解決和創新能力的體現。

最后，值得一提的是，STEM教育在美國很多是由公司運作的，他們向學校提供課程和師資培訓。學校只需采購課程和派出教師接受培訓。最終由公司派出的師資或學校的教師完成授課。這種模式充分調動了社會資源，達到了資源的合理配置。而中國目前采用的方式還只是采購一個創新實驗室，在課程建設和師資培訓方面沒能建立起資源共享的機制。

參考文獻：

[1] 高振嚴，何偉淋.“線面垂直判定定理”：從歷史看證明、找模型[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（7）.