HPM視角下的“橢圓及其標準方程”教學

花奎

摘要：從數學史的角度看，圓錐曲線研究的起源和發展可分成“截線定義”“從運動軌跡到解析幾何”“軌跡定義與普通方程”“截線定義和軌跡定義的統一性”四個時期。“橢圓及其標準方程”的教學，重構、借鑒橢圓定義產生和橢圓方程推導的歷史，設計“截線定義”—“焦點性質”—“機械作圖”—“軌跡定義”—“標準方程”的流程，讓學習更自然;設計相應的主問題，引導學生“再發現”“再創造”。課后反饋表明，這樣的教學激發了學生的學習興趣，培養了學生的人文情感，促進了學生對相關知識和思想的理解和掌握。

關鍵詞：HPM橢圓定義橢圓方程教學設計

蘇教版高中數學選修21第二章《圓錐曲線與方程》第二節《橢圓》第一課時的內容是“橢圓及其標準方程”。這一課時，教材直接介紹了橢圓在生活中的應用，然后就提出“怎樣建立橢圓的方程”這一問題，并通過建系求方程的一般方法得到橢圓的標準方程。此前，學生在本章第一節《圓錐曲線》的學習中對橢圓的截線定義、軌跡定義（第一定義）和機械畫法有了初步的感性認識，在必修2第二章《平面解析幾何初步》的教學中了解了通過建系求直線方程和圓的方程的一般方法。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“在教學中，可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的史料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及對其人類文明的貢獻。”基于此，考慮到教材略去了橢圓定義產生和橢圓方程推導的歷史背景和歷史方法，筆者從HPM視角來設計和實施“橢圓及其標準方程”的教學，讓學生了解相關知識和思想的產生、發展歷程，從而激發學生的學習興趣，培養學生的人文情感，促進學生對相關知識和思想的理解和掌握。

一、史料梳理

圓錐曲線的研究起源于古希臘，與三大幾何問題中的“立方倍積”問題有關。從數學史的角度來看，圓錐曲線研究的起源、發展可分成四個時期。

（一）截線定義

早在公元前4世紀，門奈赫莫斯（Menaechmus）就用平面截圓錐面得到截線，并加以命名。他的做法是：取三個軸截面頂角分別是銳角、直角和鈍角的圓錐，用垂直于母線的平面去截圓錐面，就得到三種不同的截線，分別為橢圓、拋物線、等軸雙曲線的一支。這是圓錐曲線最早的發現與命名。

公元前3世紀，阿波羅尼奧斯（Appolonius）首次提出只用一個圓錐面就可以截得三種圓錐曲線的觀點。他的方法是：用一個平面截一個圓錐面，僅需改變截面的位置，就可以產生三種截線（如圖1所示）。

值得一提的是，阿波羅尼奧斯并不了解坐標系的概念，所以不可能通過建立坐標系的方法來求圓錐曲線的標準方程。但是，他對圓錐曲線的描述很接近現代方式，他在其著作《圓錐曲線論》中用一種與坐標系相似的方法求出了橢圓的一般方程y2=px-pdx2。可以認為，阿波羅尼奧斯時代已經有了文字敘述的圓錐曲線方程。

（二）從運動軌跡到解析幾何

16世紀，圓錐曲線相關的研究集中在自然科學領域，主要有兩個方面：（1）開普勒發現行星的運行軌跡是橢圓形的，而不是圓形的;（2）伽利略發現在不計阻力的情況下斜拋運動的軌跡是拋物線。由此人們發現，圓錐曲線不僅是存在于圓錐面上的“靜態曲線”，而且是普遍存在于自然界中的物體運動形式。

1637年，笛卡兒創立了解析幾何，采用運動的觀點，將“靜態曲線”看成點運動的軌跡;利用坐標法，將平面上的點和有序實數對建立一一對應關系，從而將幾何曲線用代數方程表示，為研究圓錐曲線開辟了一條嶄新的道路。

另外，英國數學家沃利斯在其《圓錐曲線論》一文中也明確表示圓錐曲線可以用關于x、y的二次方程表示，可以獨立表示成一種平面曲線，因此可以徹底擺脫依附圓錐存在的命運。

（三）軌跡定義（第一定義）與普通方程

17世紀，法國數學家洛必達（LHopital）在其著作《圓錐曲線分析論》中將橢圓定義為平面上到兩定點的距離之和是定值的動點軌跡，并且通過建立直角坐標系，采用“和差術”（引入參數）處理，簡明而巧妙地得出了橢圓的普通方程y2=b2a2（a2-x2）。

（四）截線定義和軌跡定義（第一定義）的統一性

1822年，比利時數學家丹德林（G.P.Dandelin）巧妙地解釋（證明）了橢圓截線定義和軌跡定義（第一定義）之間的統一性（等價性），即圓錐截線的焦點性質。他在圓錐（其實也可以用圓柱）里塞進兩個相離的內切球，并使其分別與截圓錐面的平面相切，則圓錐面被平面所截得的曲線（橢圓）上的任意一點到兩個球面與平面的切點的距離之和等于兩個球面與圓錐面的切線（圓）之間在圓錐面上的距離——如圖2所示，球O1和球O2均內切于圓錐面，分別切平面于點E、F，點A是圓錐面與平面的交線上的任意一點，則有AE+AF=AC+AB=定值。

丹德林的方法反映了圓錐曲線作為圓的中心射影的思想。因此，截線定義下的研究屬于度量幾何的范疇，軌跡定義下的研究則可以歸結到射影幾何的范疇。這給我們啟示是，數學的發展就是數學思想的發展。

二、教學設計

基于橢圓定義產生和橢圓方程推導的歷史背景和歷史方法，我們可以擬定“橢圓及其標準方程”的教學目標：（1）從具體情境中抽象出橢圓模型，像數學家一樣“再發現”“再創造”出橢圓定義和方程，體悟其中的思想，了解相關知識和思想的產生、發展歷程;（2）掌握橢圓的兩種定義，掌握橢圓的標準方程，能根據已知條件求橢圓的標準方程，能用標準方程判定曲線是不是橢圓。

在具體教學中，重構、借鑒橢圓定義產生和橢圓方程推導的歷史，我們可以設計“截線定義”—“焦點性質”—“機械作圖”—“軌跡定義”—“標準方程”的流程，并且針對每個環節設計相應的主問題引導學生探究。

三、教學實施

（一）設置情境，引入課題

問題1生活中有很多幾何體的截面形狀像橢圓，如圓柱形水杯傾斜時杯中水面的形狀、雞蛋橫截面的形狀、油罐車縱截面的形狀等。它們究竟是不是橢圓呢？

學生分組討論，教師點評，總結出上述形狀都是圓柱或圓錐被平面斜截得到的截面形狀，都是橢圓。然后，教師介紹古希臘數學家發現并命名的圓錐截線，由此引入橢圓的課題，初步形成橢圓的截線定義。

（二）重構歷史，生成定義

問題2（1）過球外一點，可以作出球的幾條切線？切線長度又有什么關系？

（2）將一個球放在水平桌面上，球和桌子有多少個公共點？

（3）把半徑與圓柱底面半徑相等（都為R）的球放在圓柱里，球與圓柱之間有怎樣的位置關系？

（4）如圖3所示，在圓柱內斜放入一個橢圓形硬紙片，調整橢圓的傾斜角，使之恰好與圓柱面相合;再一上一下放入兩個球，使之與圓柱面、橢圓形硬紙片同時相切。記兩個球與橢圓形硬紙片的切點分別為F1和F2，在橢圓上任取一點P，記點P所在的圓柱母線與兩個球的切點分別為A和B，則PF1+PF2與線段AB有怎樣的大小關系？

前三問，直接讓學生回答。最后一問，先利用實物教具（選擇透明圓柱）和多媒體動畫演示，再引導學生探究：先得到PF1+PF2=PA+PB，再得出PA+PB=AB（≥2R，當且僅當橢圓為圓時取等號），從而引入橢圓焦點的概念，總結橢圓焦點的性質：PF1+PF2=常數。

問題31822年，比利時數學家丹德林曾利用圓錐內的雙球模型給出過上述橢圓焦點的性質。那么滿足這一性質的動點的軌跡一定是橢圓嗎？也就是說，我們能根據這一性質在平面上機械地作出一個橢圓嗎？

教師引導學生探究：用一根長度大于F1F2的細繩，以F1、F2為焦點作一個橢圓（如圖4所示），由此總結出橢圓的機械畫法，然后歸納出橢圓的軌跡定義。在歸納定義的過程中，教師通過追問“定長等于F1F2怎樣呢？小于F1F2呢？”，引導學生完善橢圓的軌跡定義。

（三）借鑒歷史，導出方程

問題4（1）橢圓在現實生活、生產、科技中有著廣泛的運用，神舟飛船運行軌跡也是橢圓。怎樣才能精確地制造橢圓呢？

（2）怎樣建立橢圓的方程？

（3）對于橢圓這種平面曲線，怎樣建立坐標系才能使得它的方程最簡單呢？為什么要這樣建立坐標系呢？

通過第一問，讓學生清楚“數缺形時少直覺，形少數時難入微”，需要進行定量刻畫，從代數角度進行突破，即建立橢圓的方程，從而進一步體會數形結合和解析法的思想。

通過后兩問，引導學生類比圓的方程的建立，分析坐標系建立曲線方程的方法，猜想分別以橢圓的兩條相互垂直的對稱軸為x軸和y軸建系，所得的方程沒有x、y的一次項，只有x、y的二次項與常數項，形式最為簡單，由此更好地理解標準方程之“標準”所在。

問題5根據兩點之間的距離公式，將橢圓的軌跡定義，用代數的形式表現出來，即列出相應的方程。閱讀教材，思考：如何化簡方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a？其算理是什么？有沒有更好的化簡方法呢？

教師引導學生通過比較發現，“移項后兩邊平方”比“直接兩邊平方”更容易計算。然后，教師介紹洛必達采用的“和差術”的處理方法：對稱地設PF1=a+m，PF2=a-m，可得a2+2am+m2=（x+c）2+y2，a2-2am+m2=（x-c）2+y2，聯立這兩個方程，整理得出橢圓的標準方程。接著，教師讓學生通過圖5理解等式a2=b2+c2的幾何意義。

最后，教師讓學生思考、討論：如果橢圓的焦點在y軸上，那么橢圓的標準方程應該如何？學生得出焦點在y軸上時橢圓的標準方程。

（四）學以致用，運用方程

例1將圓x2+y2=4上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，試判斷所得的曲線是什么曲線。

例2已知一個儲油罐截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4米，其上的點到兩個焦點的距離和為3米，求這個橢圓的標準方程。

對于例1，教師通過幾何畫板演示，引導學生直觀感知橢圓和圓的動態變換關系;然后板書解題過程，給予解題示范;最后引導學生反思如何通過方程識別曲線的類型。

對于例2，學生獨立完成，教師展示規范的解題過程，提煉解題方法（待定系數法）。

四、課后反饋

課后，我們對全班54名學生進行了問卷調查。結果顯示：絕大部分學生能復述橢圓的定義和標準方程推導的思路及簡化方法;87.2%的學生能理解由“丹德林雙球”得到橢圓焦點性質的構造過程;92.3%的學生認為依據橢圓焦點性質總結橢圓的機械畫法有助于理解橢圓的軌跡定義;所有學生都認為洛必達的對稱設法避免了繁雜的計算;97.5%的學生對在數學教學中融入數學史持肯定態度，他們普遍反映融入數學史的數學教學更有吸引力，更容易理解、記憶，并表示會在課后進一步了解圓錐曲線的發展歷史。

五、教學反思

（一）基于歷史設計流程，讓學習更自然

很多教師通常會用“用繩子固定兩端畫出橢圓”的方法引入橢圓概念，直接歸納出橢圓的第一定義。但是，學生在生活中早就有了橢圓的印象，突然讓他們“用繩子固定兩端畫出橢圓”，然后歸納出“到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡為橢圓”，是否自然呢？學生是否想到過用這樣的方式得到橢圓呢？學生對于為什么要這樣畫橢圓以及這樣畫出的橢圓與生活中的橢圓一樣嗎，是否會有疑惑呢？從眾多課堂案例中可以看到，這種引入不符合學生學習橢圓概念時己有的認知基礎，導致學生學習的參與度不是很高，不利于學生對知識的理解和掌握。

而本節課的教學流程基于歷史的順序，遵循了學生已有的認知基礎（即歷史相似性），更利于學生理解和掌握橢圓的定義，并為后續推導橢圓的標準方程提供了基礎。本節課中引入橢圓定義的方法需要較強的空間想象能力。因此，教師選用了圓柱和兩個半徑相等的球，并使用實物教具和多媒體動畫直觀演示，從而減少了學生的學習困難。從課堂實踐中可以看到，學生深度參與、充分探究，課堂氛圍更好、效率更高;而且，學生對圓錐曲線相關知識的理解和掌握確實呈現出歷史相似性。

（二）運用史料設計問題，引導學生“再發現”“再創造”

不少教師在教學中往往會對數學史料（如數學家傳記、歷史事件、數學名題等）做直接的補充介紹。這在一定程度上豐富了教學內容，增添了教學的趣味性與人文性。但是，這種“加法”主要指向教學內容，即數學史，而非教學主體，即學生。其實，教師在教學中應該深入挖掘蘊含于數學史料中的數學知識、思想與育人要素，并將其轉化為能促進學生數學學習的一系列問題。這樣可以既關注數學史的內容本身，更關注學生的主體地位。數學史料“問題化”，可將數學史的文化資源轉變為有助于學生全面發展的育人資源，有助于數學史教育功能的充分發揮。這是數學教育育人為本的本質要求。

本節課中，教師將相關數學史料轉化為多個目標明確、聯系緊密、層次清晰、邏輯性強的問題（問題2～問題5）。學生依次解決問題的過程，既是積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流的數學學習過程，也是通過數學探索對數學知識和思想及其產生和發展“再發現”“再創造”的過程。

參考文獻：

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