數學“慢化教學”的策略研究

摘要：教學過程中可能布滿了溝溝坎坎，因此，它應該是潤澤的、蹣跚的。這透射出的就是悠然之“慢”。“慢化教學”是關注知識深度理解、關注學生發展性的教學，追求的是“慢之有道，學之有效”。在數學知識教學中，慢化的策略有：激發認知需要，慢于自然;降低認知起點，慢中求真;拉長認知過程，慢中求實;拓寬認知渠道，慢中求透;挑起認知交鋒，慢中求活。在數學習題教學中，慢化的策略有：一題作基演變，慢中明道;開放問題思路，慢中優術。

關鍵詞：數學慢化教學知識教學習題教學

杜威說過：“教學絕不僅僅是簡單的告訴，而應該是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟。”教學過程中可能布滿了溝溝坎坎，因此，它應該是潤澤的、蹣跚的。這透射出的就是悠然之“慢”。

筆者提出的全息觀下的教學，有一種快慢相諧的基調。其中，“快”主要指整體統攝下的整體建構。但是，“快”必須有“慢”來助陣。“慢”是一種外在狀態，它不是為慢而慢，更不是消極怠工，而是為了生成“快”的效果而采取“緩存”策略，是為了快步推進而蓄能蓄勢，是基于學生學會、提升學力的“慢”。

布魯納說過：“學習不但應該把我們帶往某處，而且應該讓我們日后在繼續前進時更為容易。”“慢化教學”就是基于此的教學，就是關注知識深度理解、關注學生發展性的教學，追求的是“慢之有道，學之有效”。筆者通過研究，在“慢節奏、慢引領、慢呈現、慢操作、慢思維、慢生成”的基礎上，初步形成了“慢化教學”的一些策略。

一、知識教學

在知識教學中，理解是應用的基礎，沒有深入的理解，就不能靈活地應用。因此，知識的教學尤其要放慢節奏，促進理解，不能蜻蜓點水地滑過。

（一）激發認知需要，慢于自然

概念是命題的基礎，理解命題首先要理解好概念。在概念教學中，放緩認知節奏首先要讓概念的出現源于需要，揭示概念引入的必要性。這樣，才真正有利于明晰概念的來龍去脈、前世今生，把握概念的內涵、外延，建構概念的結構體系，達到對概念本質的深度理解。

例如，方差概念的教學，可以讓學生通過案例計算，發現平均數、中位數、眾數這“三個代表”都不足以解決問題，由此使方差的出現成為學習的需要，合情入理。具體如下：

問題1供選項：A.平均數;B.中位數;C.眾數。

（1）為了反映初二學生的平均年齡，應關注學生年齡的。

（2）表1是某公司的月工資報表。

為了了解這家公司人員工資的一般水平，應關注。

（3）為了考察某同學在一次測驗中數學成績是上游還是下游水平，應關注這次數學成績的。

教學說明：以上是數據的“三個代表”，體現了數據的集中趨勢。

問題2小明和小亮是校射箭隊的運動員，兩人參加射箭測試，近期的6次成績如表2所示（單位：環）。

（1）根據表2填寫表3。

（2）根據以上數據，你能選出參賽的隊員嗎？為什么？若不能，怎么辦？

教學說明：通過計算，發現4組數據均相等，此時遭遇困境，怎么辦？波折起伏，激蕩起學生的探索欲望，接下來的新知學習就會成為學生的內需，其必要性、合理性得以彰顯，新概念的現身就順勢而為了。

（二）降低認知起點，慢中求真

“低起高落”是數學的應有之態。低下去的目的是高起來。放低教學入口，降低認知起點，有利于激發學生學習的積極性，增進學生的參與熱情，能讓學生循階而上，步步登高，厚積而薄發。

例如，配方法是數學中的重要方法。對于解一元二次方程而言，其重要性更是不可小覷，因為它是聯結直接開平方法與求根公式法的紐帶。基于此，在配方法的教學中，筆者設計遞進問題，引導學生拾級而上，緩推慢行，品悟真味，求得真果。

問題1解方程x2=4。

問題2解方程x2+4x=0。

問題3解方程3x2+12x=0。

問題4解方程3x2+12x-4=0。

問題5解方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）。

從最簡單的直接開平方的方程“低起”，到最一般的字母系數方程“高落”，其間可以體驗配方法的形成過程，并獲得求根公式的“副產品”，一舉兩得。

（三）拉長認知過程，慢中求實

一些重點知識需要實實在在地沉淀于學生頭腦中，否則，容易淡忘，難以成為后續學習的“基地”，難以產生正遷移。對這樣的重點知識，一開始學習時，就需要通過增設教學環節，拉長認知過程，在慢節奏中，將其做實。

例如，直線是幾何學中的原始概念，是不定義的、超經驗的，可謂幾何教學的“第一粒紐扣”。由于直線概念看起來很簡單，而且學生已有了一定的認知，很多教師往往高估了學生的原有認知，淡化直線概念的教學，導致學生認知模糊、理解不到位。對此，筆者精心設計了直線概念的教學環節：

環節1：說印象——突出直、線性、兩端延伸的外形。

環節2：找實例——從生活中尋找實例，與現實生活對接，具象化直線。

環節3：畫——一點畫、兩點畫，感知存在性。

環節4：說感悟——立足“畫”找感覺，賦予直線生命的靈性。

環節5：說應用——栽樹、釘木條等，體會、感知“兩點確定一條直線”。

環節6：表示直線——兩種方法，立足現實應用，用兩點（兩點表示法自然生成兩個大寫字母），用小寫字母。

環節7：意境化——用陳子昂的“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”，以時間的無始無終刻畫直線，讓直線這一圖形充滿詩情畫意。

通過增設這些教學環節，從意象、物象、形象、抽象全方位地刻畫直線概念，讓這個不定義的原始概念在學生的頭腦中扎下根來。

（四）拓寬認知渠道，慢中求透

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”從多個角度觀察、認識事物，往往看得真切、全面。數學教學也是同樣的道理：多渠道、廣視角地理解，看似緩慢，實則通透了核心知識，深化了理性認識，沉淀于腦，銘記于心。

例如，二次根式的反身性“（a）2=a（a≥0）”的教學，可從以下角度立體展開：

渠道1：利用互逆關系還原，可類比學生熟知的加減、乘除等互逆運算。

渠道2：借力完全平方數的計算，使抽象變具象，通過驗證加強直感性，如（9）2=（32）2=32=9。

渠道3：數形結合，借助圖形，利用正方形邊長與面積的關系具象說明。

渠道4：回歸算術平方根的概念，提升理性認識。

每一位學生的認知基礎不同、思維方式不一，對同一個事物的理解也會不盡相同。多渠道的印證，既滿足了不同學生的不同需求（合其勢），又契合了學生的求異心理（循其道）;除了增強認同感，便于理解記憶外，還歷練了學生的多向思維。

（五）挑起認知交鋒，慢中求活

學習中，有些問題容易受常識的偏頗影響而滑過，成為“夾生飯”而不自知。實際上，就是一個簡單的概念，也要有個子午卯酉的說法。通過開放問題的設計，激起思維碰撞，挑起認知交鋒，可以讓概念、公式、法則等“瓜熟蒂落”，獲得豐富、靈活的表征。

例如，平方差公式的教學，為了揭示公式的結構特征，筆者拋出如下開放而又有一定挑戰性的填空題：（○）（○）=a2-b2，除了填（a+b）（a-b）以外，還可以填什么？看誰填得多。此題激發了學生的探索熱情，學生踴躍登臺，寫出如下一些式子：①（b+a）（a-b）;②（a+b）（-b+a）;③（a+b）（-a-b）;④（-a+b）（a-b）;⑤（-a+b）（-a-b）;⑥（-a-b）（-a-b）;⑦（a-b）（a-b）;⑧（-a-b）（a-b）……這些式子有的是對的，有的是錯的。因此，學生開始討論、肯定、批判。筆者抓住時機，發動學生找出所有正確的結果，然后提出問題：這些正確的式子有什么共同的特征？由于以上挑選出的式子基本窮盡了所有的變形形式，因此平方差公式的特征得到有效的揭示。

如此的慢化處理，突出了重點，化解了難點;充分暴露了學生的思維軌跡、認知弱點，讓平方差公式的知識表征得以激活，結構特征得以凸顯。

二、習題教學

習題的教學也要放慢節奏，提升價值，不能滿足于就題解題。

（一）一題作基演變，慢中明道

有的題目內涵豐富，具有母題的價值，承載著數學知識內在的規律性。若以此為基，從中挖掘出生長點，使得題目不斷演變，在變化的“術”中探尋出不變的“道”，可以幫助學生把握題目本質。例如：

習題1（人教版初中數學教材習題14.2“拓廣探索”第7題）已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值。

以此題為基礎，可編擬出題組展開教學，從變式中揭示規律，尋法問道：

（1）若a+b=5，ab=3，求a2+b2、a-b的值。

（2）若a2+b2=19，a+b=5，求ab、a-b的值。

（3）若a2+b2=19，ab=3，求a+b、a-b的值。

（4）若a+b=3，a-b=5，求ab、a2+b2的值。

（5）若ab=3，a-b=5，求a+b、a2+b2的值。

（6）若a2+b2=19，a-b=5，求a+b、ab的值。

通過這一組題目，幫助學生提煉出這一類問題的一般思路（基本量意識）：兩數和、兩數差、兩數積、兩數的平方和這四個量，給出任意兩個量都能求出其他的量。有了這樣“道”的認識，編擬問題就不在話下。

學生獨立解答完成。若不順利，就讓學生通過小組交流化解問題;若順利，則讓學生嘗試編題，從中加深對這一規律的認識。

習題2如圖1，把△ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內部時，∠A與∠1+∠2之間有一種數量關系始終保持不變。請試著找一找這個規律，你發現的規律是（）

A. ∠A=∠1+∠2

B. 2∠A=∠1+∠2

C. 3∠A=2∠1+∠2

D. 3∠A=2（∠1+∠2）

解答：∠A=180°-（∠B+∠C）=180°-（∠AED+∠ADE），所以∠B+∠C=∠AED+∠ADE=180°-∠A，所以∠1+∠2=360°-（∠B+∠C+∠AED+∠ADE）=360°-2（180°-∠A）=2∠A。選B。

這是一道具有典型意義的題目，有可以深度挖掘的空間，是孕育問題意識和創新精神的優質素材。教學中，筆者讓學生由此題編擬新問題，但是學生感到困難，于是筆者進行了引導：

師原問題中折疊后點A在四邊形內部，同學們還可以提出怎樣的問題？

生（出示圖2、圖3）折疊后點A在四邊形外部時，如圖，∠A與∠1、∠2之間的數量關系是什么？

師你能猜一猜此時的結論嗎？

生2∠A=∠2-∠1。

師原問題中折疊了一個角，我們還可以提出怎樣的問題？

生折疊兩個角、三個角。

師這是一個三角形問題，我們還可以編擬怎樣的問題？

生（出示圖4）四邊形、五邊形等問題，如圖。

……

師梳理一下構建問題的策略：折疊在圖形內部→折疊在圖形外部（上、下或左、右）→折疊多個角→折疊其他多邊形。這種策略是復合的，起初源于位置的不同提出問題，而后從數量的不同提出問題，最后從維度的不同提出問題。以上編擬問題的方法就是“what if not”法的擴展使用：不是這一個，還會是哪一個呢？問題滾滾而來。

這里，通過搭建支架，引導學生不斷提出問題，讓學生逐漸感悟問題提出的不同維度;通過梳理總結，幫助學生積淀剛剛獲得的提出問題的初步經驗，使之成為能發生遷移的比較成熟的經驗，從而發展學生的問題意識，擴大學生提出問題的思維視域。

（二）開放問題思路，慢中優術

有的問題內涵豐富，可能蘊含多種解法。教學中，開放問題的思路，讓學生嘗試一題多解，有利于培養學生的發散性思維，讓學生串聯知識的內涵和外延，融會貫通;有利于培養學生的聚合性思維，讓學生提煉方法的區別和聯系，優化思維;還能讓不同層次的學生找到學習的成就感，調動課堂的氛圍。例如：

習題3在四邊形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°，求證：AB=CD。

對于此題，在教學中，可以引導學生秉持“有就找出來，沒有造出來”的模型意識，發現需要構造輔助線解題，然后執果索因，追溯獲得線段相等的基本方法之源頭（三角形全等的性質或“等角對等邊”），捕捉有用的信息，廣泛搜索，形成如下思路：

解法1：如圖5，過點C作CE∥AB，交AD于點E，即可構造出與△ABC全等的△CDE，進而得證。

解法2：如圖6，以AB為邊作∠BAE=∠DCA=60°，AE交BC的延長線于點E，即可構造出與△ACD全等的△EAB，進而得證。

解法3：如圖7，作點D關于AC的對稱點D′，連結AD′、CD′，可證△AED′與△BEC均為等腰直角三角形，即得AB=CD′，進而得證。

解法4：如圖8，同解法3，作點B關于AC的對稱點B′，連結AB′、CB′，可證△CEB′與△DEA均為等腰直角三角形，即得AB′=CD，進而得證。

解法5：如圖9，作∠ACD′=∠CAD，使CD′=AD，可得△DCA≌△D′AC，即有CD=AD′，然后可證B、C、D′共線，由∠B=∠D′=45°，得AB=AD′，進而得證。

解法6：如圖10，作∠CAB′=∠ACB，使AB′=CB，證法同解法5。

解法7：如圖11，分別過點C、A作CD′∥AD、AD′∥CD，使兩線交于點D′，連結BD′，可知四邊形ADCD′是平行四邊形，即有AD′=CD，然后可證∠ABD′=∠AD′B=75°，得AB= AD′，進而得證。

解法8：如圖12，分別過點C、A作CB′∥AB、AB′∥CB，使兩線交于點B′，連結DB′，證法同解法7。

統而觀之，以上8種解法都落腳于構造全等三角形，且借力于“等角對等邊”。另外，除解法1、解法2外，其他6種解法均是基于對稱而有的思路，每一類思路的方法都是“成對”的。這契合了G.波利亞的“蘑菇”理論：當你發現一只蘑菇的時候，應當在邊上再找一找，因為蘑菇總是成堆生長的。“再找一找”就是遷移，就是由此及彼、舉一反三。

然后，引導學生在發散中凝聚，在多種解法中提煉共性，或通過討論找出簡潔的方法，進而達到優化思維的目的。如此的“慢化”才便于發揮題目的“內能”。

參考文獻：

[1] 李相朋，馬俊，俞光明.全息教學論初步探討[J].武漢紡織工學院學報，1997（2）.

[2] 邢成云，王文清.整體建構，跨步推進——全息教學論下的整體教學嘗試[J].中學數學雜志，2013（12）.

[3] 邢成云.追尋“快慢相宜”的整體化教學[J].江蘇教育，2015（5）.

[4] 朱桂鳳，孫朝仁.初中數學慢化教育的可行性調查與分析[J].中學數學雜志，2014（6）.

[5] 汪宗興，徐維武.小題大做，精彩綻放[J].中學數學教學參考（中旬），2015（Z2）.