“研究型教學”指導下的“離散型隨機變量及其分布列”教學設計

孫軍波

摘要：使用“高中數學研究型教學”的ADE設計模型和“五環十步”教學模式指導“離散型隨機變量及其分布列”的教學設計。基于前期的學習內容分析和學生認知分析，設計了教學目標和教學過程，引導學生立足彩票等具體實例，探索為什么要將隨機試驗的結果數量化;又立足擲骰子和拋硬幣這兩個基本試驗，探索如何將隨機事件的結果數量化;進而通過一些從簡單到復雜的問題的解決，探索如何利用隨機變量方便、深入地研究隨機現象。

關鍵詞：研究型教學ADE設計模型“五環十步”教學模式離散型隨機變量及其分布列

李昌官老師提出的“高中數學研究型教學”，指導教師根據前期的學習內容分析和學生認知分析，從研究數學問題的角度，基于“問題的提出→方法的尋找→知識的提煉→問題的解決→課后的拓展”這一大致思路（框架）設計課堂教學，帶著學生以研究的姿態和方式學習數學的知識與方法。其ADE設計模型和“五環十步”教學模式使教學設計有據可循，而靈活運用它們可以提高課堂教學效益。筆者使用ADE設計模型和“五環十步”教學模式指導了“離散型隨機變量及其分布列”的教學設計，并在“浙派名師”高中數學名師班的一次教研活動中進行了實踐，取得了不錯的效果。具體的教學設計如下：

一、前期分析準備

（一）學習內容分析

1.知識產生的背景與固著點分析。

隨機事件的研究以及期望的計算是隨機變量概念產生的背景。概率源自歐洲的“分賭注問題”：兩人決定賭若干局，中途因故停止賭博，應如何分賭注？問題的實質是計算每個參與者的盈利期望。隨著研究的深入，隨機試驗的結果不一定是數字，所以需要將隨機事件數量化，進而實現不同概率模型的統一，方便數學期望等數字特征的計算。所以，數學期望的研究是隨機變量概念產生的固著點。

2.知識生長的過程與階段分析。

隨著對隨機現象研究的深入，數學家們發現隨機變量的實質是隨機試驗結果（即隨機事件）和實數之間的一個對應關系，這與數學分析中函數的概念本質上是一樣的。數學家們還把隨著隨機試驗結果的變化而變化的隨機變量大致地分為離散型隨機變量和連續型隨機變量，并引進了概率分布函數，全面地描述隨機變量的統計規律。

3.知識建構的策略與方法分析。

隨機變量概念建構的主要策略與方法有三個：一是基于生活進行探究，即從生活中的隨機現象出發，探究隨機變量產生的背景和意義;二是利用函數思想，因為映射是隨機變量定義的關鍵，把隨機試驗的結果數量化，利用隨機變量表示隨機試驗的結果，就可以更好地利用數學工具研究隨機現象;三是利用建模的觀點看待隨機變量的建立。

4.知識間的聯系與結構分析。

隨機變量和函數之間有緊密的聯系：都屬于映射。也有一些不同：前者是隨機試驗結果和實數的一一對應（高中階段的離散型隨機變量要求一一對應）;后者是實數和實數之間的對應，可以是“一對一”或“多對一”。

5.知識的要點與本質分析。

隨機變量是隨著隨機試驗結果的變化而變化的實數，可以看作定義域是樣本空間Ω（即隨機試驗所有可能的結果的集合），值域是實數集R的子集的函數ξ=ξ（ω）（高中階段的離散型隨機變量一般只取有限個或可列個值）。隨機變量概念其實是利用函數思想解決現實問題的經典范例：通過數量化把非函數問題轉化為函數問題，這在數學研究乃至一般性的問題研究中都是極為重要的。

6.知識的學科意義與教學價值分析。

隨機變量使得隨機事件的表達形式更為簡潔。另外，用數表示試驗結果還具有更深層的優越性：可以研究隨機變量的概率分布問題，即全面地研究隨機試驗所有可能的結果及其對應概率的規律，不再局限于之前孤立地研究個別事件的概率。這使概率問題的研究進入了一個精確、全面和科學的階段。

（二）學生認知分析

1.學生認知基礎分析。

學生在小學、初中階段對概率和統計有一定的認識，在高中階段也學過隨機事件的概率，這為本節課的探究學習奠定了基礎。同時，學生了解函數、映射等概念，具有將隨機變量和函數、映射進行聯系的基礎。

2.學生認知障礙分析。

學生不太容易理解將隨機試驗結果數量化的必要性，與生活實際相結合存在難度，表現在從生活實際中舉出一些隨機變量的例子時出現障礙。另外，學生理解離散型隨機變量中的數學語言“一一列出”存在難度，相應地，就難以理解連續型隨機變量的概念。因為隨機變量與函數的聯系是難點，所以，學生對引入隨機變量概率分布列的必要性更是存在認知障礙。

3.克服障礙的措施分析。

教師可以借助生活中的例子，幫助學生理解隨機變量的概念;可以通過比較概念，幫助學生直觀感受隨機變量與函數的關系，不必在課堂上過度強調，以免影響學生對隨機變量概念的理解。由于隨機概念本身就很復雜，教學中可以淡化數學知識的嚴密性，例如對“一一列出”“連續型隨機變量”等概念，學生能有正確的感性認識即可。而引入離散型隨機變量分布列的必要性可以留給學生課后思考，教學中要注意前后知識的溝通，使所學知識成為一個有機整體。

二、教學目標設計

1.通過彩票等具體實例，體會引入隨機變量的意義和價值，了解離散型隨機變量的概念，嘗試用數學的眼光看待生活問題。

2.通過擲骰子和拋硬幣這兩個基本試驗，經歷和理解將隨機試驗的結果數量化的過程與方法，感受抽象概括的過程與方法。

3.通過一些從簡單到復雜的問題的解決，理解隨機變量的作用，了解離散型隨機變量分布列及其數字特征（主要是均值），體會把概率問題通過數量化轉化為函數問題，經歷建立數學模型的過程，欣賞數學模型的價值。

三、教學過程設計

（一）呈現背景，提出問題

背景1“雙色球”“15選5”“大樂透”三種彩票中一等獎概率分別為168352768、13003、121425712。如果僅考慮中一等獎的概率，買“15選5”彩票為佳，但實際上，人們更喜歡買其他兩種彩票。為什么人們在知道中獎概率的情況下，仍然堅持買其他兩種中獎概率較低的彩票呢？

背景2射擊選手的射擊成績具有隨機性，如何選擇優秀的運動員代表國家參加比賽？

分析不同的概率模型有什么共同的特點？如何建立統一的概率模型進行后續的研究？這就需要了解、學習一些新的知識，首先是嘗試將隨機試驗的結果數量化，為概率模型的統一奠定基礎。

核心問題如何將隨機試驗的結果數量化，以更方便、更深入地研究概率現象？

[設計說明：通過具體實例，學生能夠體會到買彩票不僅要考慮中一等獎的概率，還要考慮一等獎對應的獎金，因此將隨機試驗的結果數量化，才能進行更好的比較。結合射擊選手選拔問題，學生可以感受到不同的概率問題之間存在共同的特點，都需要考慮隨機試驗結果的數量化。]

（二）聯想激活，尋求方法

問題1投擲一枚質地均勻的骰子，試驗結果可否用數來表示？

問題2拋擲一枚質地均勻的硬幣，試驗結果可否用數來表示？

分析投擲一枚質地均勻的骰子，可能出現的結果為一點、二點……六點，對應數字為1，2，…，6，因此，如果隨機試驗的結果帶有數字特征，一般可以考慮利用這些數字表示相應的結果。拋擲一枚硬幣，可能出現的結果為正面向上、反面向上，雖然不是數字，但是可以分別利用數字1和0來表示。

[設計說明：從學生熟悉的擲骰子、拋硬幣入手，尋找隨機試驗結果數量化的辦法，特別是如何將沒有數字特征的隨機試驗結果數量化。]

（三）歸納抽象，分析概念

歸納在這種對應關系下，數字隨著隨機試驗結果的變化而變化。像這種隨著隨機試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X、ξ等表示。所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變量。

說明本章研究的離散型隨機變量只取有限個值。

問題3隨機變量和函數有沒有什么類似的地方？

分析隨機變量和函數都是映射，隨機變量把隨機試驗的結果映射為實數，函數把實數映射為實數。隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數的值域。

問題4請你舉出一些生活中的隨機變量的例子，并判斷是離散型還是連續型隨機變量。

[設計說明：立足生活情境，抽象出隨機變量的概念。通過對比隨機變量和函數，揭示隨機變量的本質，也為后續運用函數思想解決概率問題做鋪墊。]

（四）運用鞏固，內化遷移

問題5在含有10件次品的100件產品中任意抽取4件，含有的次品件數X隨著抽取結果的變化而變化。問：

（1）X的取值范圍是什么？

（2）{X=0}表示什么事件？

（3）{X<3}表示什么事件？

問題6投擲一枚質地均勻的硬幣2次。

（1）設Xi=1，第i次出現正面，

0，第i次出現反面。令X=X1+X2，那么X的實際含義是什么？

（2）設Xi=1，第i次出現正面，

-1，第i次出現反面。那么出現正面的次數用X=X1+X2如何表示？

[設計說明：通過使用隨機變量的語言描述解決問題，體會隨機變量在表示隨機試驗的結果上顯得簡潔，理解應該選擇那些簡單且有實際意義的隨機變量來表示隨機試驗的結果，為后續隨機變量數字特征的研究奠定基礎。]

問題7投擲一枚質地均勻的硬幣3次，如何選擇隨機變量X來表示試驗的結果？

分析根據投擲1次時規定正面向上為1，反面向上為0，可設X=0，三次反面，

1，一正兩反，

2，兩正一反，

3，三次正面。

追問概率P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）分別是多少？

分析利用古典概型可以推出P（X=0）=18，P（X=1）=38，P（X=2）=38，P（X=3）=18。

追問能夠驗證這個結果嗎？可以借助計算機進行模擬試驗。

活動用Excel軟件的RANDBETWEEN（0，1）功能進行模擬試驗，結果如下頁表1所示。

明確模擬試驗的結果驗證了利用古典概型推出的概率。我們將隨機變量X及對應的概率列在一張表中，可得下頁表2。表2稱為隨機變量X的概率分布，簡稱X的分布列。

歸納一般地，設離散型隨機變量X可能取的值為x1，x2，…，xn，X取每一個值xi（i=1，2，…，n）的概率為P（X=xi）=pi，則稱表3為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列。

（五）回顧反思，拓展問題

問題8為什么要建立隨機變量的概念？隨機變量概念是通過怎樣的過程與方法建立的？它和函數有什么聯系和區別？什么是離散型隨機變量的分布列？

問題9課后，可以嘗試調查彩票“雙色球”“15選5”“大樂透”。根據隨機變量的知識，嘗試定義它們各自的隨機變量X并寫出概率分布列，通過電腦模擬推測相應的中獎概率，嘗試計算一張彩票的平均盈利并比較，最后寫出引入概率分布列的作用可能有哪些。

[設計說明：問題8引導學生明確，把隨機試驗的結果數量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，就可以利用數學工具更方便、更深入地研究隨機現象。問題9讓學生充分體會引入離散型隨機變量分布列的必要性，并為本單元后續學習幾個重要的離散型隨機變量及其分布列，以及離散型隨機變量的均值與方差做鋪墊。]

參考文獻：

[1] 李昌官.高中數學研究型教學[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[2] 李昌官.高中數學研究型教學實踐與探索[J].課程·教材·教法，2018（1）.