知其然，還須知其所以然

吳秋桂

摘要：教師可以通過錯誤這樣一個特定的視角來了解學生掌握知識的過程，發現真實問題，從而采取相應的補救措施;錯誤對于學生來說也是不可或缺的，是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的結果。

關鍵詞：錯誤;粗心;錯因探微

在學習過程中，錯誤的出現是一件常見的事。與“錯誤”相關度比較高的一個詞是“粗心”。我們常常聽到這樣的話：“怎么又錯了？真粗心！”“如果不是因為粗心的話，這回應該考100分！”……“粗心”屬于學習態度范疇，粗心大意當然是錯誤形成的一個原因，但“細心”了就一定能避免錯誤嗎？把錯因籠統地歸結為“粗心”，不作具體分析，其結果只會“粗心”照犯，錯誤不斷，掩蓋了真正的原因。因此，對錯誤進行系統研究就顯得非常重要：首先教師可以通過錯誤這樣一個特定的視角來了解學生掌握知識的過程，發現真實問題，從而采取相應的補救措施;其次錯誤對于學生來說也是不可或缺的，是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的結果。本文將以長方形的面積計算為例，試圖回答：什么是錯誤？學生會出現哪些錯誤？這些錯誤的原因是什么？特別地，對于長方形面積計算來說，為什么學生會經常混淆周長和面積的計算公式應用？

正因為對錯誤的界定豐富多樣，所以對于錯誤的分類與分析也莫衷一是。在各種錯誤中，學生作業中的錯誤因其留下了書面痕跡，便于做進一步的研究。

對學生作業中的錯誤，國內外學者已作了許多有益的工作，至今仍方興未艾.特別是隨著建構主義數學觀的興起，對學生的數學錯誤又有了新的認識。因此，如何診斷學生的錯誤自然引起人們極大的興趣。要想得到正確的解答，必須掃清一系列障礙，其中的任何失誤均會影響解題的進程，導致最后解題的失敗。在此意義下，從解題過程角度提出錯誤的層級，將其分為5個水平：閱讀、理解、轉換、處理、編碼。其中，理解錯誤指的是沒有掌握問題中所有信息的意義;處理錯誤指的是與算法有關的錯誤;編碼錯誤指的是書寫錯誤，如筆誤等。分為問題形式、問題閱讀、問題理解、策略選擇、技能選擇、技能操作等6個層級，可以用來分析多步數學文字題中發生的錯誤。另外，還有一種較為流行的錯誤分類方法是戴再平先生給出的，他把解題錯誤分為知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤。

這些錯誤的分類方法從不同角度揭示了錯誤形成的原因和結果。下面是筆者根據長方形面積計算這一學習內容所作的錯誤分類分析，盡管在分類的邏輯性上存在著一些問題，但從實踐的角度大致涵蓋了學生的基本錯誤情況。

根據40位學生的課堂作業本、練習卷等120份，分析發現常見的錯誤主要有：

錯誤

類型 序號 錯誤分析 錯誤示例 備注

概念性錯誤 ① 單位寫錯 長方形面積：7×9=63米（單位寫錯） 浙教版第6冊P78

② 周長、面積計算方法混淆 一個長方形的菜地長12米，寬20米，在它周圍圍上籬笆，籬笆至少要多長？（錯解：12×20=240平方米）

給一塊長30厘米、寬20厘米的玻璃配一個木框，至少需要（錯解：600）厘米長，玻璃的面積是（100平方厘米）。 浙教版第6冊P79

方法性錯誤 ③ 數學原型用錯。

原型：周長一定，（四邊形中）正方形面積最大。

誤型：三邊總長一定（一邊靠墻），正方形面積最大。 用48米長的柵欄圍成一個長方形花壇（長、寬都是整厘米數）其中一面利用圍墻，怎樣圍才能使長方形花壇的面積最大？最大的面積是多少平方分米？

錯1：48÷4=12dm 12×12=144dm2

錯2：48÷3=16dm 16×16=256 dm2 【浙教版單元復習】

④ 未能形成明確的方法，當第一步完成后難以為繼。 一個長方形的長和寬都增長5厘米后，形成了一個新的長方形，它比原來的面積增加125平方厘米。原來長方形的周長是多少厘米？

125-5×5=100平方厘米 100×4=400厘米 【浙教版單元復習卷】

直覺性錯誤 ⑤ 面積的均分誤以為周長也同樣均分。 一個長方形的周長是24分米，把它平分后，正好是兩個面積相等的正方形。每個正方形的面積是多少？

24÷2=12分米 12÷4=3分米

3×3=9平方分米 浙教版第6冊P79

⑥ 在用面積包含關系的方法求解時習慣性將問題中的數據用盡。 一條便道長15米，寬24米，用邊長3分米的方磚鋪滿這條便道，需要這樣的方磚多少塊？

15米=150分米

150×24÷3=1200塊 【浙教版單元復習】（文字有改動）

記憶性錯誤 ⑦ 正方形面積公式用錯 受某些數據影響，正方形面積計算公式特別容易用錯：

填表：正方形邊長25厘米，面積是（ ）。25×4=100平方厘米 【浙教版單元復習】

感知性錯誤 ⑧ 單位沒有統一就直接計算 一張長方形桌子，長2米，寬8分米，桌面面積是多少？

2×8=16平方分米 【浙教版單元復習】

上面筆者分析了一些作業的錯誤，在分析的時候常常被學生的錯誤所惑，說實在的，這些問題在筆者和筆者同事的每屆學生都會碰到――特別是面積和周長公式學生經常要用錯。著名小學數學教育專家顧汝佐先生在其《名師授課錄》中曾嘆：“長方形面積計算是小學數學教材中的一個傳統內容，推導出它的面積公式，并不太困難，學生也容易理解。問題往往出在這節課以后一是周長和面積的單位名稱常常用錯，二是周長和面積的意義不易區分清楚。”顧先生的話一語中的，綜觀歷年來的教學設計，教學的重點都放在如何讓學生發現公式，這當然是必要的，有助于公式的意義理解。在前文中我們把面積和周長公式用錯歸結為概念性錯誤，也是從這個角度說明對于公式意義理解的重要性。

綜上，本文對長方形面積計算中的錯誤進行了歸因，雖然未能全面、科學，但也大致上涵蓋了主要問題。我們常常說 “錯誤是一種資源”，如果會分析錯誤的原因，就能有針對性地幫助學生或者改進我們的教學，錯誤就是師生成長的資源;不能分析原因，就難以吸取教訓，徒增煩惱而己。

參考文獻：

[1] 王錦飛.解題中錯誤的基本類型及改錯策略[J].中學數學教學參考，1994.

[2] 薛冰.初中學生數學解題錯誤分析[J].數學通報，1995（06）.

[3] 戴再平.數學習題理論[J].上海教育出版社，1996（10）.

（作者單位：浙江省慶元縣城東小學）