聚焦習題素材教學，提升數學抽象核心素養

聶生庚

一、數學抽象的內涵

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。

下面結合以習題素材展開的教學案例，闡述如何在教學過程中培養數學抽象核心素養。

二、創設有趣習題素材問題情境，在深入探究中形成數學命題

為了使習題能更好地發揮其教學功能，抓住學生感興趣的習題素材，以問題為出發點，啟發學生積極思維為核心，培養學生抽象概括、聯想求異等方面的思維能力，從而幫助學生理解、掌握、鞏固和應用所學知識，提升學生數學核心素養。

教學案例一（向量形式的三角形面積公式）

【習題背景1】平面上O、A、B三點不共線，設[OA=a]，[OB=b]，則△OAB的面積等于（ ? ?）。

A.[a2b2-（a·b）2] ? ? ? ? ? ? ? ?B.[a2b2+（a·b）2]

C.[12a2b2-（a·b）2] ? ? ? ? ? ?D.[12a2b2+（a·b）2]

【教學設計】

1.復習回顧，尋相關

師：目前我們學習過哪個三角形的面積公式？

生：S=[12×底×高]，

師：那么當[OA，OB]確定時，△OAB的面積是否確定？理由呢？

生：確定，因為已知“邊角邊”。

師：那△OAB的面積就與向量[a]，[b]有關，請以S=[12×底×高]公式為基礎，推導一下三角形面積的向量表達形式。

2.自主探究，展成果

生（自主探究2分鐘，展示成果）：如圖，△OAB的底邊長為[a]，其中|OH|為[b]在[a]方向上的投影的絕對值，即[a·ba]，所以由勾股定理知高|BH|=[b2-（a·ba）2]，所以

[S△OAB=12·a·b2-a·ba2]=[12a2b2-（a·b）2]，故選C。

3.類比學習，深探究

師：向量用坐標表示后，向量可以進行坐標運算，那設[a=（x1，y1）]，[b=（x2，y2）]，則上面的面積坐標表達式會怎樣呢？請大家推導一下。

生甲：（自主推導2分鐘左右，生甲演板）。

[S△OAB=12a2b2-（a·b）2=12x12+y12x22+y22-（x1x2+y1y2）2]=[12（x1y2-x2y1）2]=[12x1y2-x2y1]。

師：非常好，那大家看一下這個公式很簡潔，并且與那個內容的式子結構相似啊？

生：與兩向量共線定理的坐標表示[x1y2-x2y1=0]相似。

師：對了，這樣就方便記憶了。

4.抽象概括，升素養

師：通過以上分析，我們得到了向量形式的三角形面積公式，請哪位同學來敘述一下？

生乙：設[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]，則：

（1）[S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2]。

（2）[S△OAB=12x1y2-x2y1]。

師：什么條件適合用公式（1）或公式（2）？

生丙：當已知△OAB的兩邊及其夾角時用公式（1），已知△OAB的三個頂點坐標時用公式（2）。

（分析的很到位，同學們為其精彩的回答鼓掌）。

【案例剖析】

本案例基于“四基”，培養“四能”，更多地關注學生的思維過程，創設合適的教學情景、提出合適的問題，啟發學生獨立思考或與他人進行有價值的討論，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學的思想，積累數學思維的經驗，形成和發展數學抽象等核心素養。

三、在反思解題過程中形成數學方法與思想

教學案例二（特殊到一般的抽象概括）

【習題背景2】已知下列是個向量：①[OM1=OA+2OB];②[OM2=34OA+13OB];③[OM3=12OA+13OB];④[OM4=34OA+15OB]。

對于點[M1]，[M2]，[M3]，[M4]落在陰影區域內（不含邊界）的點有（把所有符合條件的點都填上）。

1.題目解法展示

依據平行四邊形法則，依次可以做出點[M1]，[M2]，[M3]，[M4]的位置如圖所示：故落在陰影區域內（不含邊界）的點有：[M1]，[M2]。

2.特殊到一般的概括

師：觀察以上四點[M1]，[M2]，[M3]，[M4]的情況，你能發現什么規律？

生丁：設[OM=λOA+μOB]，顯然，由三點共線定理知：

當[λ+μ=1]時，M，A，B三點共線，即M在直線AB上。

當[λ+μ<1]時，M在直線AB左側。

當[λ+μ>1]時，M在直線AB右側。

【案例剖析】

反思可以溝通新舊知識的聯系，促進知識的同化和遷移，達成觸類旁通;可以拓寬思路，優化解法，完善思維過程;可以提高問題意識，優化思維品質。本案例的第一個環節呈現了平時解題過程中，大部分學生在解題、學習的過程中，不進行提煉、抽象概括的習慣，使得解題經歷適用范圍很有局限性，不易形成學習方法和解決問題的經驗。當學生經歷了第二個環節時，既可以聯系舊知，又可以形成數學經驗、方法和思想，使學生的認知達到新的高度，實現自我超越、自我完善，數學抽象核心素養得以提升。

總之，數學抽象構成了數學核心素養的第一要素，在課堂中應有效結合習題素材落實數學抽象核心素養的培養，使之成為一種教學常態。在基于“四基”，培養“四能”，發展“六核三會”數學核心素養的教學理念下，以問題為導向，以方法論為指導，把握問題本質和規律，引導學生抽象概括習題素材中的數學概念、方法、思想和模型等，提高學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界的意識、能力與勇氣。最終實現數學抽象核心素養的提升，實現教育教學立德樹人的根本認為。