小議高中數(shù)學(xué)求軌跡方程的常用技法

紀(jì)建俠

動(dòng)點(diǎn)軌跡（或曲線）方程的求法解析幾何的重要內(nèi)容之一，同時(shí)又是高考的常考點(diǎn)。因此在求方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)曲線的不同背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能迅速的解決問題。下面總結(jié)幾種常見的求法。

1.直接法

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系。原則是求誰設(shè)誰，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，則可通過“建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法。

例1.已知線段AB=6，直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是 ，求點(diǎn)M的軌跡方程。

解：以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，則A（-3，0）B（3，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則直線AM的斜率 ，直線BM的斜率 由已知有。 化簡，整理得點(diǎn)M的軌跡方程為

2.定義法

充分掌握各種特殊曲線的定義，通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種曲線，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。

例2.若 為 的兩頂點(diǎn)，AC和AB兩邊上的中線長之和是30，則 的重心軌跡方程是_______________。

解：設(shè) 的重心為G（x，y），則由AC和AB兩邊上的中線長之和是30可得

，而點(diǎn) 為定點(diǎn)，所以點(diǎn)G的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的橢圓。所以由2a=20，c=8可得

故 的重心軌跡方程是

3.待定系數(shù)法

若已知曲線（動(dòng)點(diǎn)的軌跡）的類型，求曲線（動(dòng)點(diǎn)的軌跡）的方程時(shí)，可用待定系數(shù)法求解。

例3.已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且 ，求橢圓的方程。

解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為

則

所以，橢圓方程為

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為

則 ，所以方程為

4.相關(guān)點(diǎn)法（又稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法）

轉(zhuǎn)移法求曲線方程時(shí)一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)是主動(dòng)的，另一個(gè)是次動(dòng)的，即點(diǎn)隨點(diǎn)動(dòng)型。

當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí)，一般可以用相關(guān)點(diǎn)法求其軌跡方程：

①某個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在已知方程的曲線上移動(dòng)； ②另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M隨P的變化而變化；③在變化過程中P和M滿足一定的規(guī)律。

例4.已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線 上的動(dòng)點(diǎn)，求 的重心G的軌跡方程。

解：設(shè)重心G（x，y），點(diǎn)P（x0，y0），因?yàn)?/p>

則有 ，故 代入 得所求軌跡方程

5.參數(shù)法

有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件不易尋找，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，截距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）中的x，y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù)，軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法

例5.過點(diǎn) 作直線 交雙曲線 于A、B兩點(diǎn)，已知 。求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

解：當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè) 的方程為 ，代入方程 ，

得

因?yàn)橹本€ 與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 ，設(shè) ，則

①

設(shè)P（x，y），由 得

∴ 所以 ，代入 可得 ，化簡得 即 ②

當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，易求得 滿足方程②，故所求軌跡方程為 ，其軌跡為雙曲線。（也可考慮用點(diǎn)差法求解曲線方程）