對《一道模考題的解題困惑》的膚淺思考

1?呈現原題

題1：對于滿足0

a+b-ca

的取值范圍是（）

A.1，74

B.（1，2]

C.[1，+∞）

D.（2，+∞）

題2：設二次函數f（x）=ax2+bx+c的導函數為?f′（x）?.若對任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，則

b2a2+2c2的最大值為.

2?遭遇困惑

上述題1、題2是《一道模考題的解題困惑》（以下簡稱文[1]）中所研究的兩道試題，其中，題1為選擇題，題2為填空題.拜讀該文，感同身受.其實，文中遭遇的困惑也是我們一線師生經常遇到的困境，可以說這是中學數學中的一類疑難雜癥，在此感謝時老師及時提出這一帶有普遍性、針對性的問題.以下將文中的解答簡要摘錄并適當添加了序號，方便后續更好地說明問題.

3?原始解答

3.1?題1解答

解法一：函數f（x）=ax2+bx+c總有兩個不同的零點，則Δ=b2-4ac>0c

據此得到

a+b-ca>a+b-b24aa①

a+b-ca>1+ba-14ba2.

令t=ba，注意到0wECDGNtxws413JqJxL4nwLRMGTjWr9Oo6GACccOwcTY=

y=1+t-14t2∈（1，2].

a+b-ca>2.②

故選D.

解法二：由題意可得

a+b-ca=1+ba-ca.

注意到

Δ=b2-4ac>0

ca<14ba2.③

令ba=x，ca=y，

a+b-ca=z，依據已知條件及③可得

0

借助線性規劃知識并結合圖形（限于篇幅，圖形省略）可得z>1.

3.2?題2解答

解：由f（x）≥f′（x）恒成立可得a>0，b2≤4ac-4a2，所以

b2a2+2c2≤4ac-4a2a2+2c2④

b2a2+2c2≤4·ca-41+2ca2.

令t=ca，則

y=4t-41+2t2∈-6-2，6-2.

⑤

故b2a2+2c2的最大值為6-2.

注：上述題1源自湖南省長沙市2017屆高三年級統一模擬考試理科數學第12題，題1解法一是金考卷提供的，解法二是文[1]提供的;題2及解答都是?文[1]?提供的.其中，文[1]采取賦值（特值）法發現題1提供的四個選擇支均不正確，從而說明題1是一道錯題.

4?提出問題

文[1]在文末提出以下三個問題：

（1）題1解法一的問題出在哪？

（2）題2的解法正不正確？

（3）這種多變元的問題能不能采用不等關系代入放縮，然后化歸成一元變量解題？如果可以，什么情況下可以使用？

5?膚淺思考

上述三個問題正是文[1]的核心，同時也真真切切戳中一線師生的痛處！

5.1?題1解法一明顯錯誤

必須明確指出上述題1解法一是錯誤的.解法一之所以出現錯誤，根源在于解法一實施了放縮（即上述①）.對于求取值范圍的問題，慎用放縮法，尤其沒有取到等號的放縮更要特別慎重.因為每一次這樣的放縮就相當于實施了一次不等價的變形，容易導致范圍放大或縮小.如果連續進行多次這樣的放縮，出現錯誤的概率更大.

5.2?題1解法二完全正確

上述題1解法二通過換元，將問題等價轉化為熟悉的線性規劃問題，借助線性規劃知識以及數形結合求出取值范圍，其過程清晰，解法嚴謹，這是目前高中最實惠、最有效、最嚴謹的構思與解答，因此解法2無疑是正確的.

5.3?題2解答基本正確

盡管上述題2解法過程中也實施了放縮，但其解法基本正確（詳見后面的論述）.

5.4?題1與題2形同質異

從表面上看，題1與題2相似，正如文[1]指出：“題2的解法與題1解法一如出一轍”.其實，它們的本質是不同的，原因如下：

其一，題2是一道涉及最值（最大值）的填空題.對于最值問題，在解題教學過程中，我們可以甚至鼓勵學生進行適當的放縮.事實上，絕大多數最值問題都需要適度放縮.正是借助恰當、適度的放縮，達到化困難為容易、變繁雜為簡單、露隱藏為顯性、轉陌生為熟悉的效果，從而為解決問題奠定基礎.只要能夠求出最值，并且保證滿足取到最值時等號成立的條件即可.比如，我們常常借助最為熟悉的基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）處理最值問題，其本質就是放縮法，只是我們必須保證等號成立的條件“當且僅當a=b成立”，否則就取不到最值.之所以說文[1]提供的題2解答基本正確，是因為嚴格說來，還需要進一步說明取得最大值時等號成立的條件，也就是最后還必須指出取得最大值時的實數a，b，c滿足的條件（準確值，或關系式）.即要同時滿足上述④式與⑤式等號成立的條件，顯然，上述④式中等號成立的條件為

b2=4ac-4a2.⑥

以下再回頭審視并詳細展示上述⑤式由來：求導可得

y′=-8t-2-62t-2+62（1+2t2）2.

據此可知在

-∞，2-62，

2+62，+∞

上，函數單調遞減;在

2-62，2+62

上，函數單調遞增，且當?t→?-∞時，y→0-;當t→+∞時，y→0+，因此當t=2+62時，y?max?=6-2.也就是說上述⑤中取得最大值時的等號成立的條件為

t=2+62=ca.⑦

綜合上述⑥與⑦可得，上述題2取得最大值時等號成立的條件為

b2=4ac-4a2，

ca=2+62

a=2m，

b=2424m，（m>0）

c=（2+6）m.

⑧

當然，對于上述⑤，除了導數法之外，還可以采取換元法，即設n=t-1，則有

y=4n2n2+4n+3.

然后分n>0，n=0，n<0三種情況并結合基本不等式求出其最大值并獲得等號成立的條件.

其二，題1是一道涉及取值范圍的選擇題.所謂求取值范圍就是基于一定條件下的可能取到的值的最大范圍，否則就不是最終的正確答案.這就要求每一步變形都必須是等價的，否則就可能出現范圍放大或縮小.而題1中的解法一是按照①式進行放縮，此時的放縮沒有取到等號，顯然是不等價變形，僅僅表明左邊恒大于右邊，說明①左邊與右邊的范圍發生了根本性改變，當然左邊與右邊的范圍已經不一樣（注：不排除個別試題，實施不等價變形，最后左邊與右邊范圍一樣，這純屬巧合罷了）.也就是說，即使嚴格規范地求出了右邊的取值范圍，也不能代表左邊的范圍.而題2中的解法二，則是按照④式實施放縮，此時的放縮取到了等號，即確保等號成立，并且在后續推理中自始至終保證了等號成立時條件具有一致性，也就是上述⑧式，說明此處的放縮并沒有影響最后的最大值，因此題2的解法所得的最后的結果是正確的.

其三，倘若是證明題，那么我們可以實施合乎邏輯的放縮，甚至多次放縮，只要保證能夠證明到最后的結論即可.如果我們將題1改為證明題（不妨稱為題3），即

題3：對于滿足01.

作為證明題，我們可以直接用上述解法二作為題3的證明過程，還可以得到以下更為簡捷的證明過程：

證明：依據題意，函數f（x）=ax2+bx+c總有兩個不同的零點，即Δ=b2-4ac>0恒成立，即c0，b>0，則c≤0，于是

a+b-ca≥a+b-0a=a+ba>aa=1.

⑨

客觀地講，上述證明過程（多次放縮）并不嚴密，至少已知條件“0

5.5?慎用不等關系減元

含有多元變量問題一直是高中數學的難點、熱點，一般來說，我們總是盡可能想辦法（比如，換元、壓縮、不等關系代入，等等）減元，甚至渴望轉化為一元變量（比如上述題2）.因為變量越少越容易掌控，但是在減元過程中必須保證等價性，否則極易出現意想不到的錯誤，其中最為典型的錯誤就是范圍放大或者縮小，這也正是題1解法一出現錯誤的根本原因所在.其實，上述①式，從左往右看屬于放縮法中的縮小，于是導致范圍在不知不覺中被縮小.事實上，并非多元變量問題都可以轉化為一元變量，有些多元問題，在保證等價變形的前提下很難轉化為一元變量，此時如果強行轉化（尤其用不等關系代入放縮）為一元變量就會出現瑕疵乃至錯誤，上述題1解法一就是如此.

6?善待錯誤

6.1?積極面對錯誤

人們常說學生學習數學是一個與錯誤相伴的過程.其實，我們教師自身何嘗不是如此呢？面對錯誤，既沒有必要大驚小怪，也沒有必要遮遮掩掩.正如數學家華羅庚生感嘆“天下沒有數學家沒算錯過題的.錯誤是難免要發生的……但既然出現了錯誤，就應該引以為教訓.”“科學是來不得半點虛假的.”事實上，我們在概念教學之中、解題之中、命制試題之中不時出現瑕疵乃至錯誤，甚至多次出現同一類錯誤在所難免，我們應該將這些錯誤歸類、深思，從中吸取教訓，尋找根源，避免重蹈覆轍，這正是拙文[2][3][4][5][6][7][8]的由來.

6.2?多方化解困惑

筆者在教學過程中經常遇到困惑，首先與學生一起商榷，引發學生思考，人多力量大，力爭將面臨的困惑在教室里、在課堂上化解;一旦問題依然無法解決，趕緊求助身邊同事，在備課組、教研組中展開激烈爭辯，力爭短時間內解決;遇到棘手問題，積極尋求專家解答，點對點直接咨詢，立竿見影.筆者就曾多次請教著名的數學特級教師任勇先生、福建師范大學柯躍海先生、東北師范大學郭民先生、教育部考試中心任子朝先生，等等.反復遇到同類或相似疑難雜癥，整理成文投稿雜志，在更大的平臺上請教全國名家大師，這正是拙文[9][10][11][12][13]的由來.

6.3?錯誤是寶貴資源

羅增儒指出：“解題出現錯誤是難免的，教師對待學生解題過程中出現的錯誤應持積極的態度，不要一味地把錯誤看成達到正確目標的攔路虎.其實，錯誤是越過障礙、達到目標的必經階段，錯誤是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉.沒有誰在真正的問題面前不是摸索前進、從不走彎路的.”黑格爾說過：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然環節.”波普爾認為：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素.”錯誤是走向正確的先導，錯誤是通向成功的階梯.我們把概念教學中（比如拙文[14][15]）、解題過程中（比如拙文[16][17]）、命題過程中（比如拙文[18][19]）出現的瑕疵乃至錯誤看作一種鮮活的、難得的、寶貴的資源，深刻反省造成錯誤的根本原因，透過現象，厘清本質，夯實功底，提升素養，優化思維，努力提高自身教育教學水平.

需要特別說明的是，因筆者功力淺薄，深知本文未能完全解開文[1]提出的問題，甚至本文自身觀點也存在錯誤，權當拋磚引玉，期盼名家大師指點迷津，萬分感謝！同時，筆者在探究過程中也遇到新的困惑，在此請教：

上述②對嗎？如果不對，是不是應該改為以下⑩式？

a+b-ca>1.⑩

如果用⑩式替換題1解法一中的②式，那么題1的取值范圍就是（1，+∞），能否據此說明上述題1解法一正確？

參考文獻

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[3]王淼生.三角函數問題常見的典型錯誤及應對策略[J].中國數學教育，2014（12）：48—52.

[4]王淼生.立體幾何問題常見的典型錯誤及應對策略[J].求學（教學教研版），2018（8）：68—74.

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[8]王淼生.概念教學不妨嘗試“事后補救”[J].中小學數學（高中版），2015（12）：40—43.

[9]王淼生.數學問題219：求定點到定橢圓上的點的距離的最小值的疑惑[J].數學通訊（下半月），2012（9）：30.

[10]王淼生.數學問題222：學生在作業中兩種解法的是非曲直[J].數學通訊（上半月），2013（1）：35.

[11]王淼生.數學問題226：一道讓人糾結的三角作業題[J].數學通訊（下半月），2013（7）：34.

[12]王淼生.數學問題231：這個看似簡單的概率題目，答案到底是多少？[J].數學通訊（下半月），2014（1）：34.

[13]王淼生.這道質檢試題到底哪一種解法合理？[J].數學通訊（上半月），2018（10）：29—31.

[14]王淼生.對人教A版高中數學課標教材第26處修改建議[J].數學通訊（上半月），2017（10）：41—44.

[15]王淼生.理性思維?嚴謹論證——以“2018年福建省中考第10題”為例[J].中學數學教學參考（中旬），2018（10），67—70.

[16]王淼生，黃昌毅.對《拋物線一個性質》一文的質疑[J].中學數學研究（江西），2013（4）：44—45.

[17]王淼生.再談《一道世界數學團體錦標賽試題的另解與隨想》[J].數學教學，2018（3）：48—49;封面.

[18]王淼生.從涉及分布列概念的兩道試題說起[J].數學通訊（上半月），2016（Z4）：47—49.

[19]王淼生.這道試題到底錯在哪兒？[J].中學數學雜志（高中版），2017（3）：58—61.