用TI圖形計算器解2019年高考數(shù)列綜合試題

吳愛國 王慧萍

TI-NspireTM CX CAS圖形計算器作為計算器的高端產品，它不僅是一個可以求值作圖的計算器，更是一個真正意義上的數(shù)學工作室.它具有良好的符號代數(shù)系統(tǒng)、幾何操作系統(tǒng)、數(shù)據分析系統(tǒng)、程序應用與拓展系統(tǒng)等.它可以直觀地繪制各種圖形，并進行動態(tài)演示、跟蹤軌跡，進行數(shù)學問題解決和數(shù)學實驗，是一個可以隨時隨地探索科學的流動實驗室.本文利用TI-NspireTM CX CAS圖形計算器（OS版本5.0），解2019年全國卷數(shù)列綜合試題.

例1（2019年全國1卷，文數(shù)第18題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍.

解析：（1）先利用計算器的求解功能，計算出等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d，再計算出an.（略）（2）由S9=-a5得出a1與d的關系，進而解出Sn≥an，得到n的取值范圍.如圖1，2.

小結：本題第一問是等差數(shù)列的常見考點，用基本量法，求出首項和公差，即可寫出數(shù)列的通項公式.第二問是數(shù)列和不等式綜合題，利用圖形計算器CAS功能，解出不等式即可.

例2（2019年全國2卷，文數(shù)第18題）已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3=2a2+16.（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=㏒2an，求數(shù)列{bn}的前n項和.

解析：（1）先利用計算器的求解功能，計算出等比數(shù)列{an}的首項a1和公比q，再計算出an.如圖3.（2）由bn=㏒2an得出{bn}是等差數(shù)列，進而求出{bn}的前n項和.如圖4.

小結：本題第一問考點是等比數(shù)列的通項公式，本文利用了解方程組的思想.第二問考點是等差數(shù)列的前n項和公式，本文利用了圖形計算器的∑求和功能.

例3 （2019年全國2卷，理數(shù)第19題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4

（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；

（2）求{an}和{bn}的通項公式.

解析：（1）先利用計算器的CAS運算功能，計算出4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4這兩個式子的和與差，用定義法證明.如圖5，6.

（2）解關于an與bn的方程組，從而得出{an}和{bn}的通項公式.圖7，8.

小結：本題考點是等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明，求數(shù)列的通項公式.證明一個數(shù)列或由多個數(shù)列通過四則運算構成的數(shù)列為等差數(shù)列（或等比數(shù)列），主要是依據定義證明其相鄰的兩項的差（或商）是同一個常數(shù).本文將已知遞推式相加、相減并進行合理變形，得證.第二問通過解方程組，得解.

總結：縱觀2019年全國1，2，3文理共六套卷，9道數(shù)列試題，主要考了等差數(shù)列，等比數(shù)列，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合試題，考點為等差（比）數(shù)列的定義，性質，通項公式，求和公式，用到的方法為基本量法，利用方程思想以及轉化與化歸思想.TI圖形計算器強大的CAS運算功能，特別便于解決以上幾道高考試題.