由環形相遇問題引發的思考

于海英 于慧春

周末一大早，睡意被學生的短信趕跑了：

此題并不難，躲在被窩里，我就快速地把解題方法發了過去。

1÷（ ）=1÷ =5，5-1=4（次）

短信被秒回了。

（相同的時間，路程和速度成正比例，相遇一次時兩人所跑的路程之比是2：3，即分別跑了環形跑道的 、 ，相遇第一次甲跑的路程比乙跑少跑跑道的 ，如果要再次在A點相遇，甲要比乙少跑1圈。）

方法有問題？爸爸也說服不了？我睡意全無，快速起床。解決這類多次相遇問題，最快速的方法應該是柳卡圖。用橫軸表示時間，縱軸表示路程（如下圖），從圖上能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”。

但是，孩子從來沒有接觸過，理解起來會比較困難。

怎樣才能讓孩子簡單易懂？我想到了幾何直觀！它是一種常用的數學方法，又是一個重要的數學思想。通過圖形可以幫助我們發現、描述題意，可以幫助我們尋求解決問題的思路，也可以幫助我們理解和記憶得到的結果。

棋棋，我想了一種很好理解的方法，你看一看：

孩子提出的問題，如此的有深度，我不敢貿然作答。她給甲乙兩人速度重新賦值，竟然發現路程差的圈數不都是1圈，由此得出這種方法的特定性、偶然性！我為孩子的這種解題策略點贊！賦值法是解答數學問題的常用方法，它體現了一般到特殊的轉化思想。在此題中，巧妙合理地對甲乙速度賦予確定的特殊值，是一種簡潔有效的方法。

就此題而言，環形跑道，原點相遇，從上面的圖可以直觀地看到，最后甲乙回到原點，甲跑3圈，乙跑2圈。“甲要比乙多跑一圈”，路程差為1，所以用1÷（? - ）=5。如甲乙速度為3和5，按上面的想法，路程數為8，則甲要走3圈，乙要走5圈，才能回到原點相遇。所以路程差為2圈，2÷（ - ）=8;再如：甲乙速度為11和13，則最后原點相遇，甲乙路程比為11：13，也就是說甲要走11圈，乙要走13圈。也應該用 2÷（ -? ）=2

那有沒有相差圈數為3、為4呢？有的，如甲乙速度為1和4，則甲要走1圈，乙要走4圈，才能回到原點相遇，這時路程差就為3圈了。

棋棋把速度比化簡、互質后然后相加就是相遇次數。這種方法簡單易行。（關于這個想法，要找它的理論依據，我請教過好多，資深的老師都沒有給予我滿意的答復，今天再次觀看前面的圓形圖，我突然領悟。） 從上面的算式，我們發現，如果甲乙要在原點相遇，則速度比轉化為路程比。如速度比為2：8，其路程比為1：4，則回到原點，甲走1圈，乙走4圈，兩人合起來要走5圈。我們可以發現，每合走1圈，就相遇1次，所以合走5圈，就相遇5次。

這一次解題交流，讓我不得不為孩子的思維點贊！無長無少，道之所存，師之所存也！古有“一字之師”，今有“一題之師”。