橢圓雙曲線離心率的解法舉例

田宏偉

離心率是圓錐曲線的重要性質(zhì)之一，也是高考中的一個重要考點，本文對橢圓雙曲線的離心率的解法予以歸納，并通過例題加以說明。

直接求出a，c的數(shù)值，直接求解：

例1.已知雙曲線的漸近線為，則離心率為

解：因雙曲線的漸近線方程為：焦點在x軸時;焦點在y軸時

所以得到：或從而得到或

解析：橢圓和雙曲線的方程能夠確定時，a和c能夠確定，從而直接求出離心率e的值。

二、構(gòu)造a，b，c的齊次式：

通過構(gòu)造a，c的齊次等式（或不等式），除以a（或a2），得到e的方程（或不等式），從而解出e（或范圍）。

例2.（1）橢圓的長軸長，短軸長，焦距成等差數(shù)列，求橢圓的離心率。

解：4b=2a+2c，

（舍）

或

（2）.設(shè)雙曲線=1（b>a>0）的半焦距為c，直線l過A（a，0），B（0，b）兩點，若原點到直線的l的距離為，求雙曲線的離心率.

解：由已知，直線l的方程為，由點到直線的距離公式，得整理得得e2=4或

又

解析：以上題目能夠通過已知條件列出a，b，c的關(guān)系式，進一步可以轉(zhuǎn)化為e的方程，從而解出離心率。

三、利用特征三角形求離心率：

在橢圓中，由于c2=a2-b2即a，b，c構(gòu)成了直角三角形的三邊，即O，F(xiàn)2，B2構(gòu)成了直角三角形的三個頂點中

例3.（1）橢圓的短軸端點與兩個焦點連線成120°，求橢圓的離心率。

解：

（2）橢圓=1（a>b>0）上存在點P使，求橢圓離心率的取值范圍。

解：因為存在點P使，

所以

即所以離心率的取值范圍為

解析：以上題目，直接利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用橢圓的特征三角形，直接得到離心率e的取值或取值范圍。

四、利用定義法求離心率：

橢圓離心率的定義：

雙曲線離心率的定義：

例4.（1）橢圓=1（a>b>0）以等邊頂點B，C為焦點，過AB中點，求橢圓的離心率。

解：可以設(shè)邊長為m，

所以

（2）已知雙曲線以正方形ABCD的頂點A.C為焦點，且過邊AD的中點，求雙曲線的離心率。

解：可以設(shè)邊長為m，

所以

解析：以上題目巧用離心率定義，直接結(jié)合橢圓雙曲線定義，得到離心率的數(shù)量關(guān)系，進行求解。

求橢圓雙曲線的離心率的值或取值范圍涉及到解析幾何，平面幾何，代數(shù)，方程，不等式等多個知識點。綜合性強，方法靈活，要注意挖掘題目中的隱含條件，適當(dāng)應(yīng)用題型技巧，正確求解。