巧用“變號(hào)”思想找到平面所表示的區(qū)域

趙明睿

摘要：一元二次不等式的解法是高中階段的重要知識(shí)點(diǎn)，而解法中的“變號(hào)”思想，通過(guò)靈活巧用，對(duì)于后續(xù)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)提供了便捷。尤其是運(yùn)用在確定二元一次不等式的平面區(qū)域，巧用“變號(hào)”思想，從升維的角度思考問題。

關(guān)鍵詞：“變號(hào)”平面；區(qū)域

在學(xué)習(xí)二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題時(shí)，有一種常見題型——

例：在坐標(biāo)平面內(nèi)找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面區(qū)域。

分析：（x+y-1）（x-y-1）>0，利用分類討論的思想，可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為 或 。在坐標(biāo)平面內(nèi)找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面區(qū)域，就等價(jià)為在坐標(biāo)平面內(nèi)找到 或 所表示的平面區(qū)域。

常規(guī)的步驟是首先在坐標(biāo)平面內(nèi)找到 所表示的區(qū)域（分別按照畫線定界、單側(cè)代點(diǎn)定域的步驟表示出x+y-1>0和x-y-1>0，再選取其公共部分），其次在上述坐標(biāo)平面內(nèi)找到 所表示的區(qū)域（步驟同上）。這樣的步驟雖然難度不大，但是繁瑣費(fèi)時(shí)。

二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題內(nèi)容安排在人教b版必修五第三章第五節(jié)。在實(shí)際解題的過(guò)程中畫線定界、單側(cè)代點(diǎn)定域是兩個(gè)常見且實(shí)用的步驟，包含了二元一次方程在平面直角坐標(biāo)系上的表示方法，以及點(diǎn)和直線的位置關(guān)系。而在人教b版必修五第三章第三節(jié)，學(xué)習(xí)的內(nèi)容是一元二次不等式及其解法，該節(jié)課的學(xué)習(xí)對(duì)于找出平面表示的區(qū)域有哪些幫助？

在解一元二次不等式時(shí)，常常利用數(shù)形結(jié)合的思想。

例：當(dāng)a>b時(shí)，求一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集。

分析：

結(jié)合左側(cè)草圖，拋物線與x軸兩交點(diǎn)為零點(diǎn)。

位于x軸的上方位置的拋物線上的點(diǎn)，帶入方程后，滿足（x-a）（x-b）>0

位于x軸的下方位置的拋物線上的點(diǎn)，帶入方程后，滿足（x-a）（x-b）<0

因此，找到一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集：（a，b）。

我們將形如x=a與x=b的零點(diǎn)，稱之為變號(hào)零點(diǎn)，這是因?yàn)楫?dāng)拋物線的點(diǎn)位于此類零點(diǎn)的同一側(cè)時(shí)，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入原式，所得不等號(hào)方向相同。當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，每經(jīng)過(guò)一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不等號(hào)方向就發(fā)生一次變化，經(jīng)過(guò)兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不等號(hào)方向改變兩次，則與原來(lái)不等號(hào)方向一致（不發(fā)生改變）。

在解一元多次不等式時(shí)，仍可以利用變號(hào)零點(diǎn)的性質(zhì)。畫出輔助草圖，x軸將滿足原式大于零（或小于零）分成一類，可以直接得到解題結(jié)果。

在解一元二次不等式時(shí)，所利用的拋物線，雖然看似性質(zhì)比直線復(fù)雜，但是實(shí)質(zhì)是一維的問題，我們所研究的范圍是拋物線上的所有點(diǎn)。而平面上的拋物線外的點(diǎn)，我們并不做研究。

當(dāng)我們?cè)谘芯慷淮尾坏仁剿硎镜钠矫鎱^(qū)域時(shí)，相比一元二次不等式，多了一個(gè)未知數(shù)y，這導(dǎo)致問題的維度增加了，我們將不能在一條線上研究這個(gè)問題，問題的范圍擴(kuò)大到了整個(gè)二維平面，坐標(biāo)平面上的所有點(diǎn)都是研究對(duì)象。此時(shí)，對(duì)于平面上的二元一次函數(shù)z=ax+by+c來(lái)說(shuō)，ax+by+c=0是坐標(biāo)平面上的一條直線，直線上的每一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，均滿足z=ax+by+c=0，是該函數(shù)的零點(diǎn)。二元一次不等式表示平面區(qū)域時(shí)，要先畫直線定界，ax+by+c=0將平面分為兩個(gè)開半平面，同一開半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入函數(shù)z=ax+by+c，所得到結(jié)果正負(fù)號(hào)相同，不同開半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)帶入函數(shù)z=ax+by+c，所得到結(jié)果正負(fù)號(hào)相反，即同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)，當(dāng)平面上的點(diǎn)從一個(gè)開半平面運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)開半平面，要經(jīng)過(guò)直線ax+by+c=0，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)號(hào)改變。這與解一元二次不等式時(shí)，利用變號(hào)零點(diǎn)的變號(hào)性求解解題思路一致。

利用這樣的思想再來(lái)看（x+y-1）（x-y-1）>0。

對(duì)于方程z=（x+y-1）（x-y-1），在平面直角坐標(biāo)系上的零點(diǎn)，是兩條直線：x+y-1=0和x-y-1=0.而這兩條直線，保持了“變號(hào)”的性質(zhì)。

兩條直線將平面直角坐標(biāo)系分成“上“、“下“、”左”、”右”四個(gè)部分

先考察“左”部分，代入一點(diǎn)（0，0），（0+0-1）（0-0-1）>0

因此”左”部分的所有的點(diǎn)的坐標(biāo)是原不等式的解 ，”上”、“下”兩部分，分別與”左”部分間隔一條直線，由直線作為零點(diǎn)的“變號(hào)”性質(zhì)可知這兩個(gè)部分的點(diǎn)的坐標(biāo)使（x+y-1）（x-y-1）<0，”上”部分與”右”部分以直線x-y-1=0為界，由直線作為零點(diǎn)的“變號(hào)”性質(zhì)可知”右”部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（0+0-1）（0-0-1）>0

最終得到本題所求平面區(qū)域如圖

被分成的四個(gè)區(qū)域中，不相鄰的兩區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值正負(fù)號(hào)相同，由此我們得到一種較快的解題方法：任意找某個(gè)區(qū)域代點(diǎn)確定正負(fù)號(hào)，相鄰區(qū)域的正負(fù)號(hào)是相反的，確定所有區(qū)域的正負(fù)號(hào)，解出答案。

例：在平面直角坐標(biāo)系中表示（a1x+b1y+c） （a2x+b2y+c） （a3x+b3y+c）>0的區(qū)域，（a1x+b1y+c）=0， （a2x+b2y+c）=0， （a3x+b3y+c）=0，三條直線將平面直角坐標(biāo)系最多分成7個(gè)區(qū)域，任取一個(gè)區(qū)域代點(diǎn)確定正負(fù)號(hào)。

相鄰的區(qū)域正負(fù)號(hào)相反，確定所有區(qū)域正負(fù)號(hào)，找到所有解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合，即原不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域。