借幾何直觀之力明算理

羅錦蘭

摘 要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。而“幾何直觀”就是其中一個(gè)新增的核心概念。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用。不同學(xué)段借助幾何直觀，可以讓學(xué)生更好的理解四則運(yùn)算本質(zhì);借助幾何直觀，讓學(xué)生辨認(rèn)知識(shí)點(diǎn)的異同，突破“有限”和“無限”思想;借助幾何直觀，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更高效。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;四則運(yùn)算;算理;理解;思維

小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)階段的重要內(nèi)容，但往往這些運(yùn)算是枯燥，抽象的，學(xué)生在算理的理解有一定的困惑，所以在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。在教學(xué)中，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

一、借助幾何直觀，描述四則運(yùn)算本質(zhì)

針對(duì)小學(xué)生的認(rèn)知水平，在我們的教學(xué)中，教師總是會(huì)用一些直觀的手段去幫助學(xué)生去理解那些比較抽象的知識(shí)。而圖形總是能以其生動(dòng)的形象給人留下深刻的印象，更以其直觀而讓人信服。可以說，在數(shù)學(xué)中再?zèng)]有什么別的東西比幾何圖形更容易進(jìn)入人們腦海的了。借助學(xué)生熟悉的幾何圖形來理解算理，那么收效就大為不同了。

1.在低年級(jí)運(yùn)算教學(xué)中，為了幫助學(xué)生直觀理解四則運(yùn)算的算理，我們可以借助一條“數(shù)軸”的射線，將抽象的“數(shù)的運(yùn)算”形象具體化，有助于理解算理。

2.在中年級(jí)的運(yùn)算教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生已有基礎(chǔ)知識(shí)，有運(yùn)用已有的知識(shí)和計(jì)算方法，探索出新的計(jì)算方法的能力。

3.在高年級(jí)的運(yùn)算教學(xué)中，我們不能再停留在感性認(rèn)識(shí)的階段，應(yīng)該向高階思維、創(chuàng)新思維發(fā)展，這是理性認(rèn)識(shí)的一次升華，是認(rèn)識(shí)的返璞歸真。

二、借助幾何直觀，辨異同，突破“有限”和“無限”思想

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些很相似，但又完全不同的，運(yùn)算也是如此。例如，“ + + + =”和“ + + + …=”，兩個(gè)幾乎一樣的式，很明顯第一題是有限個(gè)數(shù)相加，用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變換是可以把結(jié)果計(jì)算出來的。但第二題它有無窮多個(gè)數(shù)相加，此題很難用小學(xué)自述的知識(shí)直接計(jì)算。但從式子中數(shù)的特點(diǎn)看來，每一項(xiàng)的分子都是1，而每一項(xiàng)的分母都是前一個(gè)分母的2倍。如果我們能用幾何直觀圖（如圖9），用一個(gè)正方形表示1，先取它的一半作為 ，再取余下的一半作為 ，如此取下去，當(dāng)?shù)谝活}取到 的時(shí)候，學(xué)生很容易看出來其實(shí)“ + + + =1- = ”而第二題因?yàn)樗募訑?shù)的個(gè)數(shù)是無限的，如此不斷取下去…當(dāng)取的次數(shù)越大，余下的面積就會(huì)越小，用極限思想來看，當(dāng)取的次數(shù)趨于無窮大時(shí)，剩下的部分就越接近0，也就是第二題的答案就越接近1。因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)歷來都非常重視通過直觀教學(xué)，使學(xué)生獲得感性認(rèn)識(shí)，以及有效性的理論解釋，在整個(gè)學(xué)習(xí)教程中發(fā)揮著重要的作用。

三、借助幾何直觀，讓學(xué)習(xí)效果也“平方”

早在古希臘的畢達(dá)哥拉斯時(shí)代就出現(xiàn)了幾何直觀一詞，那時(shí)人們沒有記數(shù)的符號(hào)，更多地依賴于形數(shù)。當(dāng)時(shí)的畢氏學(xué)派會(huì)根據(jù)不同的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，從而引出一些代數(shù)關(guān)系式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中，很多時(shí)候利用圖形來表示隱含著數(shù)的規(guī)律，同時(shí)利用數(shù)的規(guī)律來解決圖形的問題。通過數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果，讓學(xué)生無時(shí)感受數(shù)學(xué)的魅力。例如，六年級(jí)上冊(cè)（圖10）通過計(jì)算1+3+5+7+9…和觀察正方形圖的規(guī)律，理解“平方數(shù)”和“正方形數(shù)”的含義。從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，算式的加數(shù)是每個(gè)正方形圖左下角的小正方形和其他 “ ”形圖中所包含的小正方形個(gè)數(shù)之和，正好等于每個(gè)正方形圖中每列小正方形個(gè)數(shù)的平方。通過圖形的操作總結(jié)出“正方形數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，每個(gè)大正方形圖中都隱藏著一個(gè)算式，即1+3+5+…+（2n-1）=n2，在小學(xué)階段雖然不用學(xué)生總結(jié)出公式，但是在學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律以后，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用這一規(guī)律繼續(xù)填下去，即從1開始，有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和即是幾的平方。利用幾何直觀，把原來難以理解的“平方數(shù)”簡(jiǎn)單明了地展現(xiàn)于學(xué)生面前，學(xué)生學(xué)習(xí)起來自然事半功倍。

心理學(xué)家認(rèn)為：直觀是從感覺到的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力。幾何直觀能夠啟迪思維，借助幾何直觀的形象與計(jì)算的枯燥完美的結(jié)合，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，或者說只有做到直觀上的理解，才是真正的理解?；谛W(xué)生的年齡特點(diǎn)，幾何直觀能力的發(fā)展是不平衡的，有時(shí)表現(xiàn)出來存在很大的差異。所以在我們的教學(xué)中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從直觀走向抽象，感受幾何直觀的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的能力，養(yǎng)成幾何直觀的思維習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)

[1] 《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》（修改稿）2011年版. [M]. 北京師范大學(xué)出版社.2012.1

[2] 王永春.《小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法》. [M].華東師范大學(xué)出版社.2014.11