基于有限元法–正交球面波源邊界點法的振動體聲學靈敏度分析

王文璟

摘 ? ?要：建筑噪聲是環境噪聲污染的一個主要來源，解決建筑噪聲輻射問題的根本途徑是從噪聲源入手控制噪聲的產生，也就是對建筑設備進行低噪聲設計.因此，必須對噪聲源進行量化的聲學靈敏度分析，以便為設計提供優化方向.本文提出基于有限元法-正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度計算方法，用于振動體的輻射聲場對振動體的材料和結構幾何參數等設計變量的靈敏度計算.該方法避免了有限元-邊界元法存在的系數矩陣奇異積分、數值求積和非唯一性問題，從而降低了設計計算的難度.數值計算結果表明了所提分析方法的正確性與可行性.

關鍵詞：建筑噪聲;靈敏度分析;正交球面波源邊界點法;有限元法

中圖分類號：TU112 ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.03.009

引言

解決建筑噪聲問題的根源在于抑制固體振動源的聲輻射[1]，而控制聲輻射最有效的方法是對振源結構的材料屬性和幾何形狀等參數進行優化設計以降低聲輻射.為了實現這一目標，不但需要預測振動體的輻射聲場，還需要計算輻射聲場對振動體的材料屬性和幾何形狀的靈敏度，用于指導噪聲環境的優化設計.

有限元[2-4]和邊界元法[5-8]是目前用于振動體聲學靈敏度分析的兩種主要方法，國內外學者已經相繼建立了多種基于上述兩種方法的聲學靈敏度分析方法[9].實際上，對于聲學問題來說，由于計算域的無界特性，邊界元法是更適合用于聲學靈敏度分析的算法.但是，由于邊界元法的系數矩陣需通過數值積分計算，同時還存在奇異積分處理和非唯一性等問題，導致邊界元法的計算復雜并且計算效率較低.將邊界元法用于聲學靈敏度計算時，需要對系數矩陣進行求導，導致計算的復雜度進一步增加.鑒于上述局限性，有學者提出了基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度分析方法[10-12].該方法避免了邊界元法存在的問題，降低了數值處理難度并提高了計算效率.在目前的基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度計算方法中，作為輸入量的結構頻率響應和結構靈敏度是通過近場聲全息重建得到.由于近場聲全息本質上是一種測試技術，因此目前的方法只適合用于已經完成制造安裝的結構的聲學靈敏度分析.但是，聲學靈敏度分析更重要的應用場合是在設計過程，在設計階段實現噪聲輻射的優化和控制能夠降低成本和縮短開發過程.

針對目前基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度計算方法存在的局限性，本文將該方法與有限元法相結合.其中，有限元法用來計算振動體的結構振動頻率響應以及結構振動對設計變量的導數，這些結構響應和導數計算結果作為正交球面波源邊界點法的輸入參數進一步計算振動體輻射聲場對結構設計變量的聲學靈敏度，從而實現振動體聲輻射靈敏度的正向設計.

1 ? ?基于有限元法-正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度

假設振動體表面[N]個結點（表示為[rsi]，[i]表示第[i]個結點）上的法向振速組成的向量為[vns]，則基于正交球面波源邊界點法[3]可得到聲場中點[r]處的聲壓[p（r）]為：

式（9）即為基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度計算公式.在該公式中矩陣[v*ns]與結構相關，因此該矩陣相對設計變量的導數不為零，該導數可以通過對式（2）求導得到.在已知表面法向振速[vns]及其導數的前提下，使用式（9）即可求得聲壓相對設計變量的靈敏度.在之前研究中[vns]及其導數是通過近場聲全息重建獲得，但是這種方式不適合用于正向的聲學優化設計，為此本文將有限元法和正交球面波源邊界點法相結合，建立正向的聲學靈敏度計算方法.

對于簡諧激勵條件下的有阻尼強迫振動，其在頻域中的有限元方程為[12]：

2 ? ? 數值驗證

以如圖1所示箱體模型為例計算聲學靈敏度并驗證本文方法.箱體尺寸為30 cm[×]30 cm[×]30 cm，其表面劃分為600個單元，共有602個結點.模型材料密度2 700 kg/m3，楊氏模量為7.2[×]1010 Pa，泊松比0.35，箱體6面壁厚為0.3 cm.為激勵振動，施加幅值為 ? ? ?1 kN，頻率為0.2 kHz的簡諧力，加載位置如圖1所示.除被激表面外，箱體其余表面邊界條件為固支.選取被激勵箱體表面的厚度為設計變量.計算過程中，聲速[c=]344 m/s;空氣密度[ρ]=1.2 kg/m3，正交球面波源放在箱體中心，共使用了35階球面波源.場點取沿[z]軸方向0.3 m開始到1.5 m結束，間隔0.1 m，共13個點.

箱體的表面法向振速[vns]采用有限元軟件NASTRAN中的直接頻率響應分析模塊SOL108計算得到，如圖2所示.箱體表面法向振速[vns]的導數采用NASTRAN的優化分析模塊SOL200得到其表面結構振動靈敏度，結果如圖3所示.

將求得的表面法向振速及其導數代入式（14），可以計算得到聲壓對該被激勵表面厚度的聲壓靈敏度.為驗證本文所提出方法的正確性，將本文方法計算所得結果與利用有限元差分法計算所得的結果進行比較.有限差分法作為一種聲學靈敏度的有效計算方法，在應用中收斂情況很大程度上依賴于差分步長，且為獲得設計變量改變后的聲學參量，需對有限元模型進行多次修改，很大程度增加了計算量.有限差分法表達式為：

基于本文方法與有限差分法的計算結果如圖4所示.[Δh]分別取值1[×]10-4 m、1[×]10-5 m，由圖4可以看出，兩者計算結果基本相同.由圖5可看到計算結果相對誤差在[Δh]=1[×]10-4 m時，實部和虛部誤差基本大于10%，極值甚至達到了15%;而隨著差分增量[Δh]的減小，誤差隨之減小，當[Δh]=1[×]10-5 m時，實部和虛部誤差幾近為1%，最大不超過2%，逐漸向基于有限元法-正交球面波源邊界點法的靈敏度計算結果收斂.從而說明了本文方法的正確性和可行性.

3 ? ?結論

本文將正交球面波源邊界點法和有限元法相結合，建立了聲學靈敏度分析方法.由于正交球面波源邊界點法的引入，規避了常用的邊界元法中系數矩陣的奇異積分、數值求積和非唯一性問題，大幅消除了數值處理工作的困難;與有限元法相結合，實現了振動體的輻射聲場對振動體的材料和結構幾何參數等設計變量的靈敏度正向計算.數值計算結果表明了所提分析方法的正確性與可行性，以期能對建筑噪聲源的控制提供一定的優化方向和量化依據.

參考文獻

[1] 程芙榮.城市環境噪聲的治理[J].廣西工學院學報，2006，17（2）：107-110.

[2] HAGIWARA I，MA Z D. Development of eigenmode and frequency response sensitivity analysis methods for coupled acoustic-structure systems[J]. JSME International Journal Series，1992，35（2）：229-235.

[3] 張永斌，畢傳興，陳劍，等. 基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度分析[J]. 機械工程學報，2007，43（2）：33-38.

[4] 陳立濤. 結構聲學靈敏度計算方法研究[D].合肥：合肥工業大學，2013.

[5] 蔡俊，林瓊，蔡偉民. 用邊界元法研究不同頂端聲屏障的性能[J]. 噪聲與振動控制，2006（3）：89-91，109.

[6] ZHENG C J，MATSUMOTO T，TAKAHASHI T，et al. Explicit evaluation of hypersingular boundary integral equations for acoustic sensitivity analysis based on direct differentiation method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements， 2011，35（11）：1225-1235.

[7] ZHENG C J，MATSUMOTO T，TAKAHASHI T，et al. A wideband fast multipole boundary element method for three dimensional acoustic shape sensitivity analysis based on direct differentiation method[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，2012，36（3）：361-371.

[8] 張永斌，汪術龍，畢傳興，等. 預測聲屏障插入損失的拋物方程法及其初始聲場研究[J]. 聲學學報，2018，43（1）：69-75.

[9] 韓俊，向宇，陸靜.敷設被動約束層阻尼封閉箱體結構聲振特征分析[J].廣西工學院學報，2012，23（1）：39-44.

[10] 張永斌，畢傳興，陳劍，等.基于正交球面波源邊界點法的聲學靈敏度分析[J].機械工程學報，2007，43（2）：33-38.

[11] 張永斌，畢傳興，陳劍，等.FFT在平面機械結構聲學靈敏度分析中的應用[J].農業機械學報，2008，39（12）：216-218，173.

[12] 張永斌，畢傳興，陳劍，等.基于波疊加的結構—聲學靈敏度分析的伴隨變量方法[J].機械工程學報，2009，45（4）：177-182.

Abstract： The construction noise is a main source of environmental noise. The effective way to control the construction noise is to make the noise sources generate less noise， i.e. controlling noise in the design stage. However， implementing low noise design of construction equipments requires more information that cannot be obtained empirically. Instead， the quantitative value of acoustic sensitivity is necessary for low noise design since it can provide the optimized orientation for low noise design of radiating structures. In the paper， the finite element method and orthogonal spherical wave source boundary point

method is combined for acoustic sensitivity analysis， by which sensitivity of acoustic quantities with respect to the design variables such as structural parameters and physical properties can be achieved precisely. Compared with the conventional method that combines the finite element method and boundary element method， the proposed method has no inherent problem of singular integration and non-uniqueness which will make numerical processing more complicated. The validity and feasibility of the proposed method is verified by numerical results.

Key words： construction noise; sensitivity analysis; orthogonal spherical wave source boundary point method; finite element method

（責任編輯：黎 ?婭）