數(shù)軸在初一數(shù)學(xué)中的重要應(yīng)用

2019-09-10 14:25:41鄭飛飛

大眾科學(xué)·中旬 2019年3期

鄭飛飛

摘要：數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的一門學(xué)科。數(shù)形結(jié)合更是數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，而數(shù)軸則是我們學(xué)生更好掌握數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)。初一課本給我們的數(shù)軸定義是：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。利用數(shù)軸可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和直觀性兩大優(yōu)勢(shì)，是優(yōu)化解體的一種重要途徑。鑒于數(shù)軸的在初一數(shù)學(xué)中的重要性現(xiàn)就數(shù)軸在初一數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做如下簡(jiǎn)要的探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)軸；解題；應(yīng)用；探討

引言：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想于初中的初步體現(xiàn)，是“數(shù)”與“形”的初步結(jié)合。想要完全掌握數(shù)軸的各方面知識(shí)，我們通過(guò)“認(rèn)識(shí)數(shù)軸”和“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系”來(lái)體會(huì)，另外在不等式中利用數(shù)軸討論不等式的解集的問(wèn)題中的應(yīng)用來(lái)理解。本文就“認(rèn)識(shí)數(shù)軸”“數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)軸的關(guān)系”“運(yùn)算中數(shù)軸的應(yīng)用”“不等式中數(shù)軸的應(yīng)用”三方面來(lái)探討數(shù)軸在初一數(shù)學(xué)中的重要應(yīng)用。

一：認(rèn)識(shí)數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸。它具有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。

例1：下列數(shù)軸的畫法正確的是（）

這里主要考察對(duì)數(shù)軸的理解，數(shù)軸三要素缺一不可。

數(shù)軸的畫法：（1）.畫一條直線（一般畫成水平的直線）；

（2）.在直線上根據(jù)需要選取一點(diǎn)為原點(diǎn)（在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”）；

（3）.確定正方向（一般規(guī)定向右為正，并用箭頭表示出來(lái)）；

（4）.選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…。

例2：數(shù)軸上表示數(shù)-3和2之間的所有整數(shù)（包括-3和2兩個(gè)數(shù)）的和等于多少？

通過(guò)畫出數(shù)軸，可以知道-3和2之間的所有整數(shù)有：-3，-2，-1， 0， 1， 2 它們的和：（-3）+ （-2 ）+（ -1）+ 0 + 1 + 2 =-3。這是建立在學(xué)生對(duì)數(shù)軸的理解的基礎(chǔ)上的，通過(guò)有形的數(shù)軸數(shù)出具體的正數(shù)。這在后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中還有更多的體現(xiàn)。

二：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)的關(guān)系

數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系可以從（1）任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；（2）正數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。

其實(shí)在我們將數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍時(shí)，我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

例3：已知A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且C在B的右側(cè).點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是1，3，如圖（1）所示.若BC=2AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)是____.

本題是2017年福建中考題，考查了數(shù)軸：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù).（一般取右方向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無(wú)理數(shù).）先利用點(diǎn)A、B表示的數(shù)計(jì)算出AB，再計(jì)算出BC，然后計(jì)算點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離即可得到C點(diǎn)表示的數(shù).

例4、若a，b為有理數(shù)，a>0，b<0，且|a|<|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小關(guān)系是（）

A.b<﹣a<﹣b

C.b<﹣a

這是《安徽省合肥市2017-2018學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期第一次月考試題》的第7題根據(jù)a>0，b<0，且|a|<|b|，可用取特殊值的方法進(jìn)行比較.但此題若是運(yùn)用數(shù)軸，在數(shù)軸上找到a，b，-a，-b的位置，則他們的大小關(guān)系就一目了然了。

運(yùn)用數(shù)軸比較實(shí)數(shù)大小是一種非常簡(jiǎn)單明了的辦法，只要準(zhǔn)確的畫出數(shù)軸，找出數(shù)的位置，就可以很快地得出結(jié)果。在實(shí)數(shù)的大小比較中，運(yùn)用數(shù)軸比大小是一種較為常見的方法。

例5、在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中AB=2，BC=1，如圖（2）所示，設(shè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)數(shù)的和是p.

（1）若以B為原點(diǎn)，寫出點(diǎn)A，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)，并計(jì)算p的值；若以C為原點(diǎn)，p又是多少？

（2）若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且CO=28，求p.

本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及數(shù)軸的運(yùn)用，解題時(shí)注意：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離.根據(jù)以B為原點(diǎn)，則C表示1，A表示-2，進(jìn)而得到p的值；根據(jù)以C為原點(diǎn)，則A表示-3，B表示-1，進(jìn)而得到p的值；根據(jù)原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，據(jù)此可得p的值.

三：運(yùn)算中數(shù)軸的應(yīng)用

數(shù)軸不但將抽象的“數(shù)”直觀形象化，而且也有助于理解運(yùn)算，將運(yùn)算直觀形象化.如加法就是在數(shù)軸上先找到一個(gè)加數(shù)，再繼續(xù)向右數(shù).數(shù)到幾，和就是幾。乘法就是在數(shù)軸上從0開始幾個(gè)幾個(gè)地向右數(shù)，數(shù)到幾，積就是幾。我們知道減法是加法的逆運(yùn)算，加法是向右數(shù)，那么減法就是從被減數(shù)開始向左數(shù)，數(shù)到幾，差就是幾。對(duì)于除法的運(yùn)算，仿照這種思想利用數(shù)軸也可以進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)學(xué)生擁有在數(shù)軸上進(jìn)行加法的“跳躍”經(jīng)驗(yàn)后，在數(shù)軸上進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，這種連續(xù)的“等距離跳躍”（如下圖），既可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解相同加數(shù)連加的乘法本質(zhì)，使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)乘法口訣中每個(gè)乘積的來(lái)源，理解相鄰兩個(gè)積之間等差的關(guān)系，又有助于學(xué)生初步感知數(shù)列的規(guī)律。

例6、利用數(shù)軸計(jì)算3*4