基于“學力”視角，探覓數(shù)學概念教學

【摘要】“概念”是小學數(shù)學的“細胞”，也是小學數(shù)學教學的基石。概念具有多種特質(zhì)，如過程性、結(jié)構(gòu)性和抽象性。在小學數(shù)學概念教學中，要激活學生建構(gòu)之需、呈現(xiàn)學生建構(gòu)之態(tài)、彰顯學生建構(gòu)之美。

【關鍵詞】“學力”視角 數(shù)學概念 概念教學

概念是數(shù)學的“細胞”，是數(shù)學教學的“基石”。學生數(shù)學學習，無論是“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”還是“統(tǒng)計與概率”等都繞不開概念。基于學生“學力”發(fā)展視角，教師要將概念學習與學生數(shù)學思考、探究等結(jié)合起來，從而讓概念成為學生數(shù)學學習的基石，成為學生展開數(shù)學活動、體會數(shù)學思想方法的重要載體。

一、詮釋：數(shù)學概念的內(nèi)涵

在“認知心理學”看來，所謂“概念”，是指“符號所代表一類具有共同標準屬性的對象、事物。”無論是內(nèi)涵還是外延，概念都是動態(tài)和不斷發(fā)展的。在小學數(shù)學教學中，概念主要是反映事物數(shù)量關系和空間圖形的本質(zhì)屬性的思維形式，它排除事物物理、化學等非數(shù)學屬性，聚焦于數(shù)、形等數(shù)學特征，因而具有普遍意義。數(shù)學學習，不僅要理解概念內(nèi)涵，而且要把握其外延;不僅要洞察其本質(zhì)，而且要建構(gòu)結(jié)構(gòu)。因此，學生理解、掌握、習得數(shù)學概念通常有兩種方式：概念形成和概念同化。所謂“概念形成”，是指從具體例證出發(fā)，通過歸納法抽取共同的本質(zhì)屬性，這是一個“從無到有”的過程。所謂“概念同化”，是指“將新概念納入學生已有概念結(jié)構(gòu)之中”，從而形成新的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是一個“從舊到新”的過程。

二、尋繹：數(shù)學概念的特質(zhì)

數(shù)學概念具有過程性和結(jié)果性、具象性和抽象性等相輔相成的特質(zhì)。一般而言，數(shù)學概念形成之初是以過程性、具象性形態(tài)出現(xiàn)的，而數(shù)學概念誕生之態(tài)是以結(jié)果性、抽象性和結(jié)構(gòu)性形態(tài)出現(xiàn)的。學生對數(shù)學知識正確認識和理解，是在數(shù)學概念不斷形成、發(fā)展、完善中形成的。

1.過程表征讓思維可見

數(shù)學概念本身具有高度抽象性，而學生思維卻是具體形象的。因此，數(shù)學概念必須借助具體形象的表征來實現(xiàn)。如“加法”，必須建立在物體合并操作基礎之上，只有通過合并操作，才能讓學生形成最初的“加”的概念，這就是概念形成。再如抽象的“乘法”，教師就可以引導學生計算具有多個相同加數(shù)的算式，從而讓學生自主建構(gòu)“乘法概念”，這就是概念同化。概念產(chǎn)生過程反映了概念豐富的歷史背景和誕生過程，有助于將抽象數(shù)學問題和學生看不見的思維過程呈現(xiàn)出來。

2.結(jié)構(gòu)表征助學力發(fā)展

每一個數(shù)學概念都不是孤立地存在的，而是與其他相關數(shù)學概念存在千絲萬縷的聯(lián)系。概念理解不僅是掌握此一概念或彼一概念的內(nèi)涵，更要洞悉此一概念與彼一概念的關系、結(jié)構(gòu)。良好的概念結(jié)構(gòu)有助于概念同化，有助于促進學生學力發(fā)展。如教學“小數(shù)的認識”，在理解小數(shù)的意義基礎上，教師要引導學生溝通小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系，即小數(shù)是不帶分母的十進分數(shù);要溝通小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，讓學生準確把握“數(shù)位順序表”，為小數(shù)計算法則教學奠定基礎。這樣的教學，能促進學生數(shù)學結(jié)構(gòu)表征力的發(fā)展。

3.抽象表征促進創(chuàng)造可能

揭示數(shù)學概念過程是逐級抽象的。因此，在概念抽象化的過程中，學生獲得的并非只是形式定義，也包括豐富、鮮活的表象。這種概念逐級抽象化過程有助于促進學生的數(shù)學創(chuàng)造。如“認識厘米”，重要的不是認識厘米概念本質(zhì)——“1米的百分之一”，而是掌握厘米概念表象。教師借助“田字格”“回形針”等，讓學生建立“1厘米”表象。只有清晰概念表象，才能真正把握“厘米”。在這個過程中，學生會產(chǎn)生系列創(chuàng)造想法，如厘米有“圖釘”長、有“訂書釘”寬、有“大拇指指頭寬”，等等。并且，有了“厘米”概念表象，學生就嘗試著創(chuàng)造“厘米尺”。當學生借助“厘米”概念表象自主建構(gòu)“米尺”后，反過來就能真正理解“厘米”概念本質(zhì)。

三、深探：數(shù)學概念的建構(gòu)

數(shù)學概念的建構(gòu)過程實質(zhì)上就是數(shù)學概念的不斷精致化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的過程。即可以基于學生的前概念，對學生前概念進行適度提煉、加工、改造，也可以創(chuàng)生數(shù)學新概念。數(shù)學概念的建構(gòu)既追求學生對數(shù)學概念的本質(zhì)把握，也追求學生對數(shù)學概念的主動習得。筆者認為，這里重要的是要處理好數(shù)學概念與學生的思維對象之間的關系。

1.概念建構(gòu)，激活學生建構(gòu)之需

學生建構(gòu)數(shù)學概念的根本動力是學生已有認知結(jié)構(gòu)與新概念之間是否平衡。瑞士杰出教育心理學家皮亞杰深刻指出，學生已有認知結(jié)構(gòu)與新概念之間是否平衡，決定著學生數(shù)學概念建構(gòu)的效度。作為教師，要善于捕捉學生與概念之間的差異，并根據(jù)這種差異創(chuàng)設教學情境，激活學生內(nèi)在的建構(gòu)之需。

例如，教學“素數(shù)與合數(shù)”，教師可以借助學生學習“因數(shù)和倍數(shù)”的經(jīng)驗，引導學生用不同數(shù)量的小正方形拼長方形。通過拼長方形，激發(fā)學生的數(shù)學思考：為什么有些數(shù)量的小正方形只能拼一種規(guī)格的長方形，而有些數(shù)量的小正方形可以拼多種規(guī)格的長方形？為什么拼一種長方形的規(guī)格的寬都是1？這種認知沖突，有助于學生建構(gòu)“素數(shù)和合數(shù)”的概念。學生聯(lián)想到探究“因數(shù)和倍數(shù)”時，也是借助小正方形拼長方形。由此，學生深刻認識到：如果一個數(shù)的因數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，以這個數(shù)為數(shù)量的小正方形拼成的長方形就只有一種規(guī)格，而其他數(shù)量的小正方形拼成的長方形的規(guī)格就絕對不止一種。概念建構(gòu)，彰顯了學生的數(shù)學探究之美、思維之美。

實踐表明，只有建立在學生內(nèi)需基礎上的概念建構(gòu)，才有可能真正發(fā)揮學生主觀能動性、創(chuàng)造性。這種概念建構(gòu)在給予學生知識、技能的同時，也生成了更為豐富的教學價值。

2.概念建構(gòu)，呈現(xiàn)學生建構(gòu)之態(tài)

概念建構(gòu)是一個復雜的過程，包括概念的引入、抽象、形成和內(nèi)化。概念建構(gòu)過程不可能一蹴而就，而是一個循序漸進甚至反復的過程。因為學生對概念的真正內(nèi)化也并不一定是一帆風順的。作為教師，要引導學生循序漸進地建構(gòu)概念，呈現(xiàn)概念的建構(gòu)之態(tài)。概念的逐步建構(gòu)讓學生的數(shù)學學習向更深處漫溯。

例如，學生在學習“百分數(shù)的意義”這一內(nèi)容前，已經(jīng)學習了“分數(shù)的意義”。因此，在借助經(jīng)驗幫助學生理解了“百分數(shù)的意義”后，教師要引導學生比較“分數(shù)”和“百分數(shù)”，逐步深化學生對百分數(shù)意義的認識，進而呈現(xiàn)學生的建構(gòu)之態(tài)。如“百分數(shù)和分數(shù)在意義上有什么不同？”“百分數(shù)和分數(shù)的特征有什么異同？”這樣的問題，能讓學生將目光聚焦于百分數(shù)的概念，對之進行辨析。如“90%”和“9/10”，兩者有著相等個數(shù)的計數(shù)單位，都是90個;前者的計數(shù)單位是1%，后者的計數(shù)單位是1/10;前者強調(diào)平均分，后者強調(diào)一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾;前者不可以表示量，只可以表示率，后者既可以表示量又可以表示率，等等。正是在逐層比較建構(gòu)中，學生逐步抽象出百分數(shù)的概念。這種概念的理解不僅停留于意義層面，而是深入到特征、應用層面。

數(shù)學概念建構(gòu)要警惕過早形式化。只有引導學生逐層建構(gòu)，才能悟得概念精髓。要讓數(shù)學概念在直觀中顯影、在理性中定格、在內(nèi)化中成像。不僅要讓學生能夠進行操作表征、形象表征，也要讓學生進行符號、意義表征。

3.概念建構(gòu)：彰顯學生建構(gòu)之美

課改以來，許多教師都有意識地重視數(shù)學概念的形成過程，但由此也讓部分教師走入另一個極端，只注重概念具體性，而弱化了概念的“數(shù)學味”。學生對數(shù)學概念的理解比較膚淺，學生概念理解水平被具象捆綁，失去了自由生長力量。數(shù)學概念要引導學生進行多向厘析，彰顯建構(gòu)之美。

例如，教學“三角形高”這個概念，就不能讓學生形成固著形態(tài)表象，必須通過各種變式（如高的方向、高的位置等）凸顯概念本質(zhì)內(nèi)涵。引導學生突破原有固著表象（銳角三角形中從上往下的“高”的概念等），形成“從三角形的頂點到對邊的垂直距離”的關于“三角形的高”的本質(zhì)認識。在教學中，教師可以借助幾何畫板，首先讓學生畫出銳角三角形的一條高，然后旋轉(zhuǎn)銳角三角形，讓學生認識到“高不一定是豎直方向的，也可以是水平方向的或斜著的”;接著，還是借助幾何畫板，將銳角三角形拉成直角三角形，學生就能直觀感知到另外兩條高重合到三角形的邊上;繼續(xù)拉三角形，將直角三角形拉成鈍角三角形，學生就能直觀感知到另外兩條高位于鈍角三角形的外部。動態(tài)的展現(xiàn)讓學生領略到數(shù)學之美，學生也能深刻認識到“三角形高”的“從頂點到對邊垂直”的本質(zhì)。

概念教學要變“靜態(tài)”為“動態(tài)”。動態(tài)變式，能讓學生舍棄數(shù)學概念的非本質(zhì)屬性，把握概念的本質(zhì)屬性。這種動態(tài)的變化過程，不應過分“求新”，也不能盲目“求變”，而應通過動態(tài)化的過程、形式凸顯概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

學生數(shù)學概念的建構(gòu)是一個由淺入深、由此及彼、由表及里的逐步深化過程。在概念教學中，教師要關注學生的數(shù)學思考、探究，引導學生經(jīng)歷概念的數(shù)學化過程。數(shù)學概念始于學生經(jīng)驗，發(fā)展于自主建構(gòu)，終結(jié)于結(jié)構(gòu)理解。數(shù)學概念是實現(xiàn)學生思維躍遷的平臺，是發(fā)展學生學力的重要依托。

【參考文獻】

[1]汪樹林.小學數(shù)學概念的特質(zhì)與有效建構(gòu)策略[J].教育研究與評論（小學教育教學），2012（12）.

[2]林傳忠.有結(jié)構(gòu)地教數(shù)學[J].中小學教師培訓，2018（8）.