周密思考 嚴格論證

蔣小平

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2019）03-0218-01

初中數學教學中，通過學習平面圖形的變換，能夠提升他們對知識的靈活運用能力，增強空間想象能力，從而逐漸形成嚴密的邏輯思考體系，養成良好的數學解題習慣。在初中的平面圖形學習中，正方形是基礎的四邊形——具有許多性質，是“最完美的四邊形”。由此，在中考題目中，也嘗嘗以正放心為基礎，考察分割問題。旨在考察學生的知識時間能力和思維辨析能力，從而符合當下新課改中教育的新目標和新理念。

解決這一類型的數學問題，不能夠隨意進行分割或者拼湊，而需要具有基本的思路，進行周密思考，并嚴格論證：根據分割前后正方形面積不變的原理，進行計算分割后的正方形邊長，根據邊長設計解決問題的方案。

例題1、有五個完全相同的正方形組成一個“十字架”圖形，A、B點為所在邊長的中點。如何進行分割，才能夠讓這個“十字架”分割后的部分能夠重新拼接成一個正方形。

解題思路：

首先，需要計算原圖案和分割后正方形拼接的邊長。假設原圖案中的每個正方形的邊長都為1，那么原圖形的面積之和則為1*1*5=5。分割之后，所拼接的正方形面積是5，邊長則為根號5。邊長是根號5的線段有很多，包括如下：

根據題目我們知道，A、B點都是所在邊長的中點，所以c點是AB線段的中點，如果過c點作長度為根號5的線段，則做出CD段分割線，D點也為所在邊長中點。如何切割符合題目的要求，需要進一步的分析。

接下來，需要進入深人分析：CD線段將圖形已經分成了四個部分，此時需要引導學生將線段CD為新的邊長，作出正方形。通過將大正方形外的三個部分進行平移，得到拼接后的新圖案。

通過分割，線段所分割的正方形后的四個部分，不能夠組成一個大的正方形。因此，即使不限制分割線條的數量，也可以完成后續的拼接。

解題反思：在解決正方形的分割過程中，最關鍵的點在于正方形分割前后的面積不會發生變化。如果在分割正方形的過程中，不知道邊長，便可以利用“假設法”，將小的正方形邊長假設為單位“1”，從而能夠計算出大的整體圖形的邊長。

這一類型的正方形分割問題不僅限于分割，還考慮到分割后的拼接，因此有利于鍛煉學生的想象能力，讓他們在思考的過程中更加嚴密，提升直觀思維能力，在分割前后以及后續的拼接中嚴格論證。

例題2、有一大一小兩個正方形，邊長分別為a和b。如何將此圖形進行分割，從而讓他們能夠拼成一個正方形？請討論分割方案。

思考過程：在解決正方形的分割過程中，最關鍵的點在于正方形分割前后的面積不會發生變化。因此，分割前后的正方形邊長都應該為根號下a的平方和b的平方。由此需要構造此長度的正方形，分割方案有許多。教師可以引導學生以小組為單位，進行探討，小組展示自己的分割方案。

小組討論的分割線長度都為根號下a的平方和b的平方。以分割線條為基準進行分割，將分割后的部分拼接起來，如下：

教學反思：通過這個例題的練習，可以幫助學生進一步消化有關正方形分割問題的解決方法。依舊是抓住正方形切割前后面積不邊這一性質，通過分割和拼接后新正方形的邊長，進行分割方案設計。這種類型的題目沒有分割次數的限制。由此，有利于學生在嚴密邏輯下，有更廣闊的思考空間，能夠在嚴格論證中開放探索。

例題3、在正方形分割問題教學中，并不需要初中生有多么高深的知識，但需要他們更根據自己學習到的正方形相關基礎知識，進行思維發散，通過嚴密和敏捷的思維，迅速抓住問題的核心，并進行嚴格的論證。如以下這道正方形分割問題對學生思維能力的考查：正方形ABCD，怎樣的正整數n能夠將正方形ABCD分割成n個小正方形，這些小正方形不會互相重疊，并且分割后的小正方形大小不會相同？

教學思路：首先，教師應該帶領學生從自然數n看起，作為解題的突破口。如果n=1，那么不需要分割，因為圖形ABCD本身就是一個正方形。繼續通過假設法進行推理：

如果n為4的時候，可以進行分割。將正方形ABCD對邊的重點用直線連接起來。此時，正方形ABCD便被分成了四個小的正方形。通過同樣的方法，連接第一次分割后小正方形的中點，正方形ABCD便被分成了7個小的正方形。基于這樣的分割方法，n可以設置為1、4、7、10等等。

為了方便學生理解，教師還可以直接將正方形ABCD的邊長假設為單位“1”。在更為嚴密的論證中，可以發現，當n=6的時候，也能夠進行分割，n可以為6、9、12等等。

接下來，將原正方形分割成8個小正方形，n的取值可以為8、11、14等等。

周密的思考需要全面，通過上述三種分割之后，還剩下n=2，3和5的情況。此時，教師可以引導學生親自畫一畫，從而嚴格的證明。完成了分割思考和證明之后，教師還需要引導學生進一步思考。比如，“如果需要將一個正方形分成1、2、3、4個互不相交的小正方形，應該怎么做？”

總而言之，需要通過正方形的分割問題引導初中生養成嚴密思考和嚴格論證的良好解題習慣，提升數學知識的靈活運用能力。