逆向思維在初中數學教學中的應用探究

邱清壽

摘? 要：逆向思維的培養目的在于讓學生思維能夠朝著一般思維的反向發展，從問題的相反面思考和探索結論。不管是我們教師還是學生都習慣沿著事物的正方向思考問題和解決問題。但是對于一些特殊的數學問題，往往從反向思考更容易解決，由結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。可以說逆向思維是一種解決數學難題的有效思維模式，能夠幫助學生消除很多數學難題。作為數學教學者，我們應當培養學生逆向思維，指導學生有效運用逆向思維解決數學問題。本文筆者就重點探索逆向思維在初中數學教學中的應用。

關鍵詞：初中數學;逆向思維;教學應用

【中圖分類號】G 633.6??? 【文獻標識碼】A?????? 【文章編號】1005-8877（2019）29-0087-02

初中生已經有了自己的一個主觀思維，對事物也有一個基礎的感知和認知，在解決問題的時候容易走入“黑洞”，形成思維定勢，這種僵硬化、固定化的思維極不利于提高學生的綜合能力。因此，作為新時代數學教學者，我們一定要從培養學生的思維能力出發，落實以人為本的教育，重點以培養學生的逆向思維為突破口，打破學生的思維定勢，培養學生思維的靈活性、發散性，從而為培養學生創造性思維奠定基礎，為提高學生的數學綜合能力奠定基礎。

1.逆向思維在初中數學教學中的價值分析

（1）有利于提高學生的學習思維

逆向思維其實是學生學習數學的一種重要思維方式，培養學生逆向思維也是數學教學任務之一。多數中學生由于受客觀規律的影響，在解決大部分數學問題時習慣性運用正向思維，久而久之形成一種思維定勢，如果不能打破這種思維定勢，學生的思維極容易被“僵化”，當遇到一個新概念、新方法或解決一個新問題時，也很難想到甚至徹底掩蓋了它的另一方面。同時，運用正向思維解題，往往思路比較繁瑣，計算過程更為復雜，解題所需時間也更長，不如逆向思維順當。鑒于此逆向思維和正向思維的不同價值，我們認為逆向思維是有幫助學生巧解難題，引導學生思維發散的價值的。

（2）有利于提高學生解題效率

數學教學中有很多思維和方法，這些思維都可以幫助學生巧妙的化解難題，逆向思維正是如此。逆向思維就是要求學生從反面審視問題，從傳統的常規解題思路中走出來，學會從側面或者多個角度去分析一個問題，從而找到解題的新思路，新的突破口，很多數學難題，利用逆向思維來解決的話，效率會更高，不僅節省解題時間，而且正確率也高。因此，逆向思維也有助于提高學生解題效率。

2.逆向思維在初中數學教學中的應用

（1）逆向思維在定義公式和定理教學中的應用

概念具有內涵與外延兩個要素，兩要素成反比關系，內涵豐富的時候外延就小，反之外延則廣。通常我們在教學數學概念問題時，需要從概念的內涵和外延兩個維度進行解析，讓學生通過逆向思維體會概念知識存的充分條件和必要條件。與概念相比，學生應用公式的機會更多，大多數問題都需要依靠公式解題，所以，逆向思維在公式中的運用價值更廣。

例如，我們熟記于心的平方差公式：a-b=（a+b）（a-b），如果采用語言描述引導學記憶公式，學生不僅記憶困難，同時也不牢固，記住了也容易忘記。但如果讓學生反向推導公式，利用基本運算對（a+b）（a-b）進行去括號得a-ab+ab-b=a-b。自己嘗試著從源頭探尋公式的來歷，學生不僅容易記住公式，同時也掌握了公式的本質和原理，運用時也會更加得心應手。通過逆向推導，讓學生對公式有了雙向理解，運用公式的時候才不會單憑記憶來完成。當然，逆向思維在學習復雜公式時尤其適用，如a-b等于（a-b）（a-ab+b）還是等于（a-b）（a+ab+b），學生記憶不準完全可以臨時進行計算，看哪個式子能得出a-b，然后便可以順利進行解題了。

（2）逆向思維在數學解題過程中的應用

逆向思維不僅在學習數學概念、定理公式中有非常重要的價值，在解決復雜問題中也有非常突出的作用。尤其是學生掌握了基本定理和公式之后，如果還能夠運用逆向思維，那么很多復雜的問題就容易突破了。比如，我們經常談及的倒推法與反證法就是逆向思維的重要體現。

例題：a為何值時，方程? x/（x-3 ）= 2+ a/（x-3）會產生增根？

初步審題后，多數學生第一反應通過運算得出結果。如此解題，不僅運算復雜，同時也非常容易出錯。如果我們能夠巧妙的反向思考問題，運用逆向思維解題的話，很多看似復雜的問題就容易被簡單化，計算量也會明顯降低。如，

解題思路：方程兩邊同時乘以（x-3），得x=2（x-3）+a?? ①

因為x=3是原方程的增根，但卻是方程①的根，所以將x=3代入①得：3=2×（3-3）+a，由此可以解出a=3時，原方程會產生增根。

這種倒推法也是逆向思維運用的關鍵，我們教師在日常教學中可以多啟發學生運用這種思維來解題，不僅可以打開學生思維，提高學生思維靈活性，同時也可以幫助學生提高解題效率。

（3）逆向思維在解決幾何證明問題中的應用

逆向思維能夠幫助學生快速地找到問題的突破口，尋找解決問題的最佳方法，讓比較復雜的結題過程變得簡單明了，最突出的表現在于解決幾何證明題。也正是因為此，筆者建議我們在幾何證明題教學中盡可能引導學生多從反面的角度思考問題，或者從問題本身探尋題干本身，善于從多個角度解析問題，避免思維局限和僵硬。如下例題，我們在教學實踐中完全可以引導學生反向思考，既培養學生逆向思維，也是逆向思維的運用過程。

（此處省略圖），已知AB是⊙O的直徑，點P為BA的延長線上一點，PC為⊙O的切線，C為切點，垂足為D，交⊙O于E ，連結AC，BC，EC求證：△BDC∽△ABC。

此題運用逆向思維解題我們應該從證明問題出發，反寫分析過程。

證明：∵AB是⊙O的直徑 ?????∴∠BAC=90°

∵ PD⊥PC垂足為D???? ∴∠BDC=90°

∵PC為⊙O的切線，C為切點? ∴∠BCD=∠BAC

已知在△BDC和△ABC中：∠BDC=∠BCA，∠BCD=∠BAC

∴△BDC∽△ABC

平面幾何本身是初中學生學習的一大難點，多數學生學起來非常吃力。但是如果運用逆向思維，從所證出發，根據需要作出恰當輔助線，找到入手點，步步逆推，容易把欲證逐步推向已知結論。比如，上述解題過程，不僅思路非常清晰，同時解題過程表述也非常清晰直觀，學生容易分析問題，更容易解決問題。

綜上所述，逆向思維也是一種數學思想，其有助于激發學生對數學學習的興趣，幫助學生掌握數學基礎知識，并且提高學生數學思維，在解決數學問題中也有不可替代的作用。作為新時期初中數學教學者，指導學生正確運用逆向思維解決數學問題是我們的責任。我們應當明晰逆向思維在初中數學教學中的價值，并且不斷滲透逆向思維，讓逆向思維成為破解數學難題的利器，讓逆向思維成為學生創新思維形成的基石。

參考文獻

[1]張萍.在初中數學教學中如何提高學生的逆向思維能力[J].數學大世界（上旬），2019（03）

[2]劉耀鵬.談初中數學教學中學生逆向思維能力的培養探討[J].中學課程輔導（教師教育），2019（08）

[3]李士方.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].數學學習與研究，2019（08）

[4]楊潔.新課標下初中數學教學逆向思維的開發與探索探析[J].文理導航（中旬），2019（05）