淺析高中數學基礎知識與公式的整體應用教學

劉新萍

（廣東省廣州市番禺區石樓中學，廣東 廣州）

隨著新課改的深入推進，數學教學逐步體系化，呈現出新的現象。沒有高中數學老師不知道數學公式的重要性，但不少老師教授公式時還停留在讓學生死記硬背的填鴨教學方式。學生對于公式的學習一直是老舊的機械訓練，這一方法影響了學生對于數學方法的掌握和運用，也影響了學生對數學學習的興趣和學習能力的提升。數學公式教學是否有效對于學生的數學思維和數學能力的培養有著很大的影響，直接影響學生對于數學知識的掌握。在進行數學公式教學過程中，教師必須抓住這一時期學生的心理，引導學生對數學公式的形成過程進行體驗，培養學生搜集和處理信息的能力，不斷地提高學生對于數學學習的興趣和探究數學問題的能力，從而增強學生解決問題的信心和能力。只有“因材施教”才能讓學生對所學基礎知識進行有效學習，學生才能夠收獲感悟，理解數學原理，從而融會貫通，教學質量才會有所提高。

一、整體把控教材，創新教學過程

數學知識是一個整體的、系統性的學科，教師在教學實踐和探索的過程中，一定要注重對整體的教學知識進行把控，通過整合各個章節的內容，對所有的基礎知識和公式進行把控，做到章與章、節與節之間的完美銜接，發現其中的內在聯系，將數學知識有效地組織起來，構成一個知識體系。對于多個年級的教學，也要實現整體把握，把所有的數學知識結合起來，分析、梳理、整合相關公式。學生在這一過程中，對于數學公式和基礎知識會有較為明確的了解，能夠更有條理地進行數學知識的學習。

教師在確定教學目標和教學內容之后，需要對教學方法進行創新，在這一過程中，學生能夠更有針對性地認識新知識。比如，當學習到“圓錐曲線”這一章時，對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略。

例1（2017山東卷理科14）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線的右支與焦點為 F的拋物線 x2=2px（p>0）交于A、B兩點，若則該雙曲線的漸近線方程為______________.

凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理。

二、創設教學情境，激發學生興趣

公式和基礎知識的學習通常比較枯燥，學生很容易在這一過程中產生厭倦情緒。教師必須抓住這一時期學生的學習心理，設置課堂情境，對學生進行引入式教學。興趣作為學生學習的第一教師，在學習過程中起著至關重要的作用。在高中基礎知識和公式的教學中，教師通過設置問題情境，調動學生探究學習的積極性，適宜的情景教學能夠激發學生的求知欲，使其形成良好的學習體驗。

比如，在學習到立體幾何時，對于公式的學習可以結合平時的幾何實物進行教學引入，然后通過多媒體和課件的教學設計，形成良好的情感體驗，調動學生的創新性思維，營造生動活潑的課堂氛圍。再如在“等比數列”一節的教學時，可以創設如下有趣的問題情境引入等比數列的概念：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍。當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，設所用的時間為t，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10，烏龜仍然前于他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾認為，阿基里斯能夠繼續逼近烏龜，但絕不可能追上它。①阿基里斯和烏龜各自所行的路程；②問阿基里斯能否追上烏龜？讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義，學生興趣十分濃厚，很快就進入了主動學習的狀態。在向學生講授“數列的通項公式”這一內容時，舉出了 1，2，3，4，5，6，7，8…和 1，10，100，1000，10000…較為簡單的數列，讓學生求其通項公式。大部分學生都能迅速解出答案，并踴躍搶答。在思考和解答的過程中，學生深刻體會到數列中含有的規律性和趣味性，有效增強了學習數學的興趣。

與此同時，教師不能因為過于注重趣味性，為了創設情境而創設情境，出現本末倒置的情況，從而忽略了教學目標和教學效果。教師必須明白的是情境的創設是為了更好地教學，情境教學作為一種方法、一種教學手段起到的只是輔助性的作用。教師在這一過程中需要恰當地進行情境引入，注意把握情境創設的度。以教學目標為出發點，進行情境教學的探索實踐，從而實現教學水平提高的目標。

三、加強學生對公式的理解和應用

對于高中生而言，可能最讓他們頭疼的數學問題之一就是對大量公式的記憶。尤其是數學公式，數量多而且范圍廣，總是由字母和數字組成，而且數學公式中對字母有著不同的描述和限制。解決學生對公式的理解和記憶這一問題，是學生學好數學的第一步。而這作為教師重點關注的教學內容，也是我們今天主要探討的。教師必須要讓學生理解公式中的數字和字母所代表的含義，某字母是可以替換的，而某些卻不能。某些字母在這一公式中代表的是這一含義，在另外的公式中就有不同的意義。還要讓學生理解某些字母和數字之間的特殊關系，讓他們能夠根據這些關系解答題目。

比如，在三角函數公式中，sin2α+cos2α=1，其中的 α 就能夠用其他很多實數來表示，學生不僅要對原始公式進行記憶，更要對變形形式進行記憶，還要對其中的實數進行替換，這就對學生的實際運用能力提出了較高的要求。另外，公式的靈活運用也是學生需要注意的。教師在教學中，不能忽略了對學生發散思維能力的培養。在公式的應用中，包括逆運用和變形形式等多方面的訓練都需要加強。例如，上文所提到的三角函數公式，它的逆應用也經常出現在各種題目中，結合cos2α=1-2sin2α，體現余弦定理的應用，這需要學生在不斷地練習中加強對這一知識的記憶，余弦定理反映了二倍角與正弦數量之間的關系，能解決高中數學常見的變形問題。

其實，最重要的內容也是教學的第一步就是教師需要幫助學生建立公式概念。一旦建立了概念，再結合有規劃的訓練，對學生的掌握能力進行培養鍛煉，不斷地挖掘其潛能，提高其實踐能力，就能夠實現提高學生應用公式的能力的目標。

四、深刻認知變式教學的重要性

所謂數學變式教學，就是在數學教學過程中不斷變更數學概念中的非本質的特征，通過對問題的條件或者結論進行變換，對問題的形式或者是內容進行轉換，從而實現暴露問題本質，探索數學內在聯系，以及總結數學學習方法的目的。變式教學不僅在數學教學過程中應用廣泛，同時在數學習題實踐中的出現范圍廣，這就要求教師在教學過程中把握重點，重點施教。

例 2：已知集合 A=｛x|y=x2+1，x∈R ｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求A∩B。

學生在這類題目中經常會由于對集合的代表元素認識不清而導致錯誤。教師在上課時，可以抓緊時機給出以下變式：

變式 1：A=｛y|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

變式 2：A=｛（x，y）|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

變式 3：A=｛x+y|y=x2+1，x∈R｝，B=｛x|x2+x-2>0｝，求 A∩B。

變式 4：A= ｛（x，y）|y=x2+1，x∈R｝，B= ｛（x，y）|x>1，y∈R ｝，

通過對公式的教學，使學生能夠掌握公式的“順用、逆用、變形”，教師在這一過程中，除了對學生進行傳統的公式及記憶訓練，還不能忽略學生對公式的推證這一過程的學習。引導學生能夠自主對已有的公式進行推論證明，從而加深學生自身對公式的理解和認識，這對于學生思維的訓練和學習習慣的培養具有非常重要的意義。注重習題的練習，在反復的練習中，使高中數學公式得到應用。例如在講“集合及其運算”時，求A∩B。

教師通過這一組變式題，層層推進，使學生對“代表元素”的認識和理解呈螺旋式上升，從而對知識的理解更深刻，達到以一勝多的功效。反之，教師在講完本題后如果不展開以上變式的話，學生對這一知識點的理解不深刻，下次依然會犯同樣的錯誤。

再例如，在數列的教學中，最基本的就是等差數列和等比數列，特別是對數列的通項公式的研究，是變式研究教學中必不可少的要素之一。在教學過程中，所遇到的有關數列通項公式的題型也是千變萬化，難以捉摸，但是教師要注意在這一過程中，將各個題型串聯起來，通過由簡入深的教學，以一帶一，以公式為出發點，結合習題訓練，使學生對公式的本質有所體會，讓學生對于數學公式和數學習題產生“萬變不離其宗”的感受。通過這些典型類型的專項訓練，對學生理解和掌握公式有積極的作用。

總之，結合高中階段學生的學習特點，教師必須為其量身訂制適合他們的學習方法。在結合課改和高中生身心發展現狀的基礎上，要培養學生的辯證思維，帶領學生進行思考，加強理論知識和實踐能力的結合，提高學生的數學學習能力。教師通過對教學目標的把握，結合數學核心概念、核心思想，結合專項訓練，向學生傳達公式學習的理念，實現“一條線串百題”的效果。這對于公式的整體教學，以及對高中生數學思想的建立都會有很重要的作用。這樣一來，實現教學水平和教學質量的提高，也是自然的事情了。